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1、已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2cm，AB=4cm，BC=6cm，E是BC中点，∠C=45°.已知动点P从点A出发，沿着AB方向以1cm/s的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着CD方向以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向终点D匀速运动.当一个点到达终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为ts.

(1)、当t=2s时，求PE的长；

(2)、用含t的代数式表示线段PQ的长；

(3)、当∠PEQ=90°时，求t的值.

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2、观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式： $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ 第2个等式： $\frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$
第3个等式： $\frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} = \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4}$ ……

(1)、请直接写出第4个等式；

(2)、根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ▲ ，并计算：
$\frac{1}{\sqrt{1 + 4 + 4 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{4 + 9 + 36 - 1}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 144 - 1}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2025 + 216 + 2025 \times 216 - 1}}$

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3、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x + 2 k - 2 = 0 .$

(1)、求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；

(2)、若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值.

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4、某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如下统计图.

(1)、【数据分析】
小华利用平均数和方差进行分析.①处应填环.由表格中的数据可以看出（填“A”或“B”）选手的发挥更稳定.

(2)、小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数：m₂₅、m₅₀、m₇₅的值.
选手
平均数
方差
A
8.5环
1.75
B
①
0.75

(3)、【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔（填“A”或“B”参加青少年射击比赛），并说明理由.

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5、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 8 (x - 5)$

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{12} \div \sqrt{3}$

(2)、 $(2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 2)}^{2}$

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7、我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程 $x^{2} + 6 x = 27$ .如图1：在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和 $\frac{3}{2}$ 的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为 ${(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9 = 27 + 9 = 36$ （因为 $x^{2} + 6 x = 27) .$ 所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3。聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形EFGD面积为25，则 $x^{2} + a x - b = 0$ 中的a=；b=.

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8、已知m，n是一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $2 m^{2} - 5 m + n$ 的值等于.

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9、已知a，b满足 $b = 2 \sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a} + 7,$ 则a+b=.

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10、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根为α与β.则 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ 的值是.

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11、某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占40%，期末考试成绩占60%计算.若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为分.

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12、对于实数x，y，存在正整数n和常数k>0，满足 $\frac{\sqrt{x - k}}{n} = 2,$ 且y=x-8n.甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当k=10，y=22时，则x=45；乙同学：若对于任意的正整数n，都有y≥3，则常数k的取值范围是k≥7.其中正确的结论有（）

A、甲、乙都正确 B、甲正确，乙错误 C、甲错误，乙正确 D、甲、乙都错误

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13、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足 $x_{1} = 3 x_{2}, 2 a + b = 0,$ 则该方程的解为（）

A、 $x_{1} = - \frac{3}{2}, x_{2} = - \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = \frac{1}{2}$ C、 $x_{1} = 6, x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 6, x_{2} = - 2$

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14、如图，已知以等腰Rt△ABC₁的斜边BC₁为直角边向外作第1个等腰Rt△C₁BC₂ ，再以等腰Rt△C₁BC₂的斜边BC₂为直角边向外作第2个等腰Rt△C₂BC₃ ， ……，以此类推，若 $A B = A C_{1} = 1,$ 则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（）

A、 $\sqrt{2^{2027}}$ B、 $\sqrt{2^{2026}}$ C、 $\sqrt{2^{2025}}$ D、 $\sqrt{2^{2024}}$

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15、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数y=（k-3）x+5-k的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（）

A、70 B、75 C、150 D、350

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17、用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 5 = 0,$ 将其化成 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则变形正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 11$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 21$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 11$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 11$

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18、在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数.同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计最中一定不会发生改变的是（）

A、平均数 B、中位数 C、离差平方和 D、方差

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19、【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x ， y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】
例如：点A（1，3）在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2．函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1．当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【理解与运用】
根据定义，解答下列问题：

(1)、点B（－6，2）的“纵横值”为；若直线y＝x＋c经过点C ，且点C的“纵横值”为5，则c的值为．

(2)、若二次函数 $y = - x^{2} + b x + m$ 的顶点在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，且“最优纵横值”为5，求m的值．

(3)、若二次函数 $y = - {(x - h)}^{2} + k$ 的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．

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20、图1、图2是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你解答：

(1)、【问题一】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O ，点O又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点． $O A_{1}$ 交AB于点E ． $O C_{1}$ 交BC于点F ．则AE与BF的数量关系为．

(2)、【问题二】受图1启发，兴趣小组画出了图3：直线m ， n经过正方形ABCD的对称中心O ，直线m分别与AD ， BC交于点E ， F ，直线n分别与AB ， CD交于点G ， H ，且m⊥n ．若正方形ABCD的边长为8，试猜想四边形OEAG的面积，并写出解答过程．

(3)、【问题三】受－2图启发，兴趣小组画出了－4图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P ，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．

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选手	平均数	方差
A	8.5环	1.75
B	①	0.75