相关试卷

1、观察下列等式：
$S_{1} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}}$
$S_{2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} + \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$
$S_{3} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} + \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}} + \sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}}$
……
则 $S_{10}$ 的值为．

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2、如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E是 $O A$ 的中点，点F是 $O D$ 上一点．连接 $E F$ ．若 $∠ F E O = 45 °$ ，则 $\frac{E F}{B C}$ 的值为．

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3、将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为 $2$ ，弧长为 $\frac{4 π}{3}$ ，则扇形的圆心角大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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4、 $- 2$ 的绝对值是（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\pm 2$

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5、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

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6、已知a、b是正实数，那么， $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 是恒成立的．

(1)、由 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ 恒成立，请你说明 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 恒成立；

(2)、如图，已知 $A B$ 是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，连接 $O P$ ，作 $P C ⊥ A B$ ，垂足为C， $A C = a$ ， $B C = b$ ，由此图说明 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 恒成立．

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7、为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间 $t$ （单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“ $0 < t \leq 45$ ”；B组“ $45 < t \leq 60$ ”；C组“ $60 < t \leq 75$ ”；D组“ $75 < t \leq 90$ ”；E组“ $t > 90$ ”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在_______组内．

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8、解不等式组： $\{\begin{matrix} x > - 6 - 2 x \\ x \leq \frac{3 + x}{4} \end{matrix}$ ，并写出它的所有整数解．

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9、若 $\frac{1}{2} x^{n - 2 m} y^{4}$ 与 $- x^{3} y^{2 n}$ 是同类项，则点 $(m, n)$ 关于原点的对称点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、将有理数 $130542$ 用四舍五入法精确到千位是（）

A、 $130000$ B、 $1.30 \times 10^{5}$ C、 $1.31 \times 10^{5}$ D、 $1.31 \times 10^{6}$

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11、下列计算正确的是（）

A、 $(a + 1) (a - 1) = 1 - a^{2}$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(3 a^{2})}^{3} = 27 a^{6}$

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12、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点 F. G是AB上一点， GD交AC于点 H，且. $A B = A C, B G = D G .$

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ D B E + ∠ E;$

(2)、求证： $A H^{2} = H F \cdot H C;$

(3)、若 $t a n ∠ A B C = \sqrt{5}, A D = 2 D E, C D = \sqrt{6},$ 求 $△ A G H$ 的周长.

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13、阅读材料，回答问题.

主题	两个正数的积与商的位数探究
提出问题	小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ $(m + n - 1)$ 位的正整数.
分析探究	问题1 小明的猜想是否正确?若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广延伸	小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 $a \times 10 ⁿ,$ 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m ， n ， p，数字分别为a ， b ， c ，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b ，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 $a \times 10 ᵐ^{-}^{1},$ $b \times 10 ⁿ^{-}^{1}, c \times 10 ᵖ^{-}^{1},$ 其中a ， b ， c均为正数. 由A×B=C，得 $a b \times 10 ᵐ^{+} ⁿ^{-}^{2} = c \times 10 ᵖ^{-}^{1},$ 即 $\frac{a b}{c} = 10 ᵖ^{-} ᵐ^{-} ⁿ^{+}^{1} .$ （ * ）当c≥a且c≥b时， $\frac{a}{c} \leq 1,$ 所以 $\frac{a b}{c} \leq b ＜ 10,$ 又 $\frac{a b}{c} \geq \frac{a}{c} > \frac{1}{10},$ 所以 $\frac{1}{10} ＜ \frac{a b}{c} ＜ 10 .$ 由（）知， $\frac{a b}{c} = 1,$ 所以 $p = m + n - 1;$ 当c≥a且c＜b时， $\{\begin{matrix} \frac{a}{c} \leq 1 ， \\ \frac{b}{c} > 1 ， \end{matrix}$ ，所以 $\{\begin{matrix} \frac{a b}{c} \leq b ＜ 10, \\ \frac{a b}{c} > a \geq 1 ， \end{matrix}$ 所以 $1 ＜$ $\frac{a b}{c}$ $＜ 10,$ 与（）矛盾，不合题意；当c＜a且c≥b时，① ；当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展迁移	问题2 若正数A，B的位数分别为m ， n ，那么 $\frac{A}{B}$ 的位数是多少?证明你的结论.

(1)、解决问题1；

(2)、请把①②所缺的证明过程补充完整；

(3)、解决问题2.

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14、在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最大值为 $1 - \frac{3}{4} a^{2} .$
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 $M (x_{1}, m), N (x_{2}, m)$ 为该二次函数图象上的不同两点，且 $m \neq 0,$
求证： $\frac{{(x_{1} - 1)}^{2}}{m} = \frac{x_{2} - 2}{x_{1} - 2} .$

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15、如图，矩形ABCD中， $A B ＜ A D .$

(1)、求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = 2, A D = 4,$ ，求（1）中所作的正方形的边长.

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16、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是AB的中点， $C E ⟂ B C,$ ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.

(1)、求 $∠ D C E$ 的大小；

(2)、求证： $△ C E G$ 是等边三角形.

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17、甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期
队员
2月10日
2月21日
3月5日
3月14 日
3月25 日
4月7日
4月17 日
4月27 日
5月8日
5月20日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 ${\bar{x}}_{甲} = 85, {\bar{x}}_{乙} = 85;$ 方差分别是 $s_{甲}^{2} = 58.4,$ $s_{乙}^{2} = a .$
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
90
89
90
89
90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：

(1)、计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；

(2)、计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；

(3)、若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适?为什么?

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18、先化简，再求值： $(2 + \frac{1 - a}{a})$ $\div$ $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a},$ 其中 $a = \sqrt{5} - 1 .$

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19、如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， $∠ C B E = ∠ C D F, ∠ A C B = ∠ A C D .$ 求证： $A B = A D .$

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20、计算： $2^{0} + ∣ 1 - \sqrt{2} ∣ - \sqrt{8} .$

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
获奖分数线	90	89	90	89	90