相关试卷

1、估计 $\sqrt{5}$ 的范围，下列正确的是（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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2、如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3、某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（）

A、 $(+ 2) + (- 3)$ B、 $(+ 2) + (+ 3)$ C、 $(- 2) + (- 3)$ D、 $(- 2) + (+ 3)$

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4、知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
直接应用：（1）若 $a + b = 8$ ， $a^{2} + b^{2} = 34$ ，直接写出 $a b$ 的值为______．
类比应用：（2）①若 $a (5 - a) = 6$ ，则 $a^{2} + {(a - 5)}^{2} =$ ______；
②若a满足 $(a - 2023) (a - 2025) = 2$ ，求 ${(a - 2023)}^{2} + {(a - 2025)}^{2}$ 的值．
知识迁移：（3）如图3，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， E，F是边 $B C$ ， $C D$ 上的点， $E C = 6$ ，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ ， $C B$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C B M N$ ，若长方形 $C B Q F$ 的面积为45，求图中阴影部分的面积．

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5、如图所示，直线 $A D$ 与 $A B$ ， $C D$ 分别相交于点 $A$ ， $D$ ，与 $E C$ ， $B F$ 分别相交于点 $H$ ， $G$ ，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ C$ ．
求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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6、解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} \leq \frac{3 x + 2}{4} - 1$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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7、实数a在数轴上的位置如图所示，则 $\sqrt{{(2 - a)}^{2}} + \sqrt[3]{{(10 - a)}^{3}}$ 化简后为．

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8、如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 $A B C$ 的边 $A C$ 沿着直尺 $P Q$ 平移到三角尺 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位置，就可以画出 $A B$ 的平行线 $A^{'} B^{'}$ ．若 $A C^{'} = 9 cm$ ， $A^{'} C = 2 cm$ ，则点A平移的距离为 $cm$ ．

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9、已知 $x^{2} - x - 4 = 0$ ，代数式 ${(x - 2)}^{2} + (x - 1) (x + 3)$ 的值为．

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10、若 $x^{2 m} - 1 > 5$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，则 $m =$ ．

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11、如果多项式 $x^{2} + (m - 2) x + 16$ 是一个完全平方式，则m的值为（）

A、10 B、6 C、6或－2 D、10或－6

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12、下列计算正确的是（）

A、 $(- a - b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$ B、 $- 2 (3 a - b) = - 6 a - b$ C、 ${(- a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $(- 3 a + 2 b) (- 3 a + 5 b) = 9 a^{2} - 10 b^{2}$

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13、在数轴上表示不等式 $x + 1 \leq 3$ 的解集，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列运算正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 $a \cdot a = 2 a$

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15、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）经过点 $(- 1, - 8)$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 5)$ ．连接 $A C$ ，作射线 $C B$ ，且 $\tan ∠ C A B = 5$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的表达式；

(2)、点 $G$ 是射线 $C B$ 下方抛物线上的一动点，过点 $G$ 作 $G N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，交线段 $B C$ 于点 $M$ ．点 $E$ 是线段 $M N$ 上一动点， $E F ⊥ y$ 轴于点 $F$ ，点 $D$ 为线段 $A C$ 的中点，连接 $B E$ ， $D F$ ．当线段 $G M$ 长度取得最大值时，求 $B E + E F + D F$ 的最小值；

(3)、将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移，使得新抛物线经过（ $2$ ）中线段 $G M$ 长度取得最大值时的点 $M$ ，且与射线 $C B$ 相交于另一点 $P$ ．点 $T$ 为新抛物线上的一个动点，当 $∠ T M P = ∠ A C B$ 时，直接写出所有符合条件的点 $T$ 的坐标．

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16、 $2025$ 年春节，随着电影《哪吒 $2$ 》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多 $10$ 元，用 $810$ 元购进“哪吒”手办的个数与用 $630$ 元购进“敖丙”手办的个数相同．

(1)、单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？

(2)、该超市计划购进这两种手办共 $400$ 个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为 $55$ 元/个、 $60$ 元/个．设购进“敖丙”手办的个数为 $a$ 个，两种手办全部售完时获得的利润为 $w$ 元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 为矩形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 的中点，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，点 $F$ 为射线 $C D$ 上一点，若 $C F = F E = E A$ ， $B D = 2$ ，则 $C F + \sqrt{2} E O$ 的最小值为．

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18、某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为 $2$ 和 $1$ ， $3$ 和 $1$ ， $4$ 和 $1$ ， $5$ 和 $1$ ， $6$ 和 $1$ ， $7$ 和 $1$ ， $8$ 和 $1$ ， $9$ 和 $1$ 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 $\frac{1}{3}$ ；当已知矩形的相邻两边分别为 $10$ 和 $1$ 时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 $\frac{1}{3}$ ，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为；当已知矩形的长和宽分别为 $a$ 和 $b$ 时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的 $\frac{1}{3}$ ，则 $a$ 和 $b$ 应满足的关系式为．

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19、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．以点 $A$ 为圆心， $A B$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{B M C}$ ；再以 $B C$ 为直径作 $\overset{⌢}{B N C}$ ，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为（用含 $π$ 的代数式表示）．

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20、若点 $A (m, n)$ 是直线 $y = 2 x + 1$ 与双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 的交点，则代数式 $2 m^{2} n - m n^{2}$ 的值为．

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