相关试卷

1、【阅读材料】
我们知道，多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以因式分解为 $(a + b)^{2} .$ 当一个二次三项式 $($ 如 $a^{2} + 6 a + 8)$ 不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
$a^{2} + 6 a + 8 = (a^{2} + 6 a + 9) - 9 + 8$
$= (a + 3)^{2} - 1$
$= [(a + 3) + 1] [(a + 3) - 1]$
$= (a + 4) (a + 2)$ ．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：

(1)、填空：
$a^{2} - 2 a - 3 = (a^{2} - 2 a +$ $①) -$ $② - 3$
$= (a - 1)^{2} - 4 = [(a - 1) + 2] [(a - 1) - 2]$
$= (a + 1) (a - 3)$ ．
$a^{2} - 6 a + 5 = a^{2} - 6 a +$ $③ -$ $④ + 5 = {(a - 3)}^{2} - 4 = (a - 1) (a - 5)$ ．

(2)、将下列各式因式分解：
$① a^{2} - 4 a + 3$ ；
$② x^{2} - 2 n x + n^{2} - 4$ ．

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2、如图，在平面直角坐标系中， $▵ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3,4)$ ， $B (4,1)$ ， $C (1,2)$ ．

(1)、将 $▵ A B C$ 先向左平移 $4$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，得到 $▵ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点A，B，C的对应点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，请在图中画出 $▵ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $▵ A B C$ 绕点 $(0,0)$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到图形 $▵ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，其中点A，B，C的对应点分别是 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，请在图中画出 $▵ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、观察线段 $B_{1} C_{1}$ 和线段 $B_{2} C_{2}$ ，它们所在直线的位置关系为．

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3、小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值： $x - 2 - \frac{x (x + 4)}{x - 2}$ ，其中 $- 1 < x < 3$ ，任选一个合适的整数作为 $x$ 的值代入．
解：原式 $= \frac{{(x - 2)}^{2}}{x - 2} - \frac{x (x + 4)}{x - 2} ①$
$= \frac{x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 2} ②$
$= \frac{4}{x - 2} ③$
当 $x = 1$ 时，原式 $= \frac{4}{1 - 2} = - 4 ④$
请帮助小坪找出错误步骤 $($ 一步即可 $)$ ，并写出正确的解答过程．

(1)、小坪在第步出错，错误原因是．

(2)、请在下方写出正确解答过程．

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4、

(1)、解不等式 $2 x - 5 < 7$

(2)、解不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 < 3 x \\ \frac{x}{2} + 1 \leq 4 - x \end{array}$ ，并在数轴上表示其解集．

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5、如图7，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起， $∠ A = ∠ F = 30^{\circ} .$ 若 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $C E$ 的长度为．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $A (2,0)$ ， $B (0,1)$ ，将线段 $A B$ 平移至 $A_{1} B_{1}$ 的位置，则 $a + b$ 的值为．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = D C$ ， $∠ B = ∠ C$ ， $B C$ 边上一点 $E$ 满足 $B E = A D$ ，连接 $D$ ， $E .$ 现将 $▵ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $C'$ 处．若 $C E = 2$ ， $D E = 3$ ，则点 $E$ 到 $A B$ 边的距离为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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8、若一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象如图所示，则不等式 $k x + b < 0$ 的解集是( )

A、 $x > 3$ B、 $x < 3$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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9、图 $①$ 所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图 $②$ 所示的平行四边形 $A B C D$ ，其中 $∠ B + ∠ D = 120^{\circ}$ ，则 $∠ A$ 的度数为( )

A、 $60^{\circ}$ B、 $70^{\circ}$ C、 $110^{\circ}$ D、 $120^{\circ}$

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10、已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程 $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的根，则该三角形的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、直角三角形或钝角三角形

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11、a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a， $- a$ ， b， $- b$ 按照从小到大的顺序排列是（）

A、 $- b < - a < a < b$ B、 $- a < - b < a < b$ C、 $- b < a < - a < b$ D、 $- b < b < - a < a$

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12、如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = B C = 4 \sqrt{2}, C D = 15, A D = 17, ∠ A B C = 90 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为．

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13、如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ $\frac{1}{2}$ BC，连接CD和EF．

(1)、求证：CD＝EF；

(2)、猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．

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14、点 $(- 1, y_{1}), (2, y_{2})$ 是直线 $y = - 2 x + b$ 上的两点，则 $y_{1}$ $y_{2}$ (填 $>$ 或 $=$ 或 $<$ )

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边的中点，点 $E$ 是 $A B$ 边上一点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，得到 $△ F D E$ ，连接 $F C$ ， $E C$ ．若四边形 $D E C F$ 是菱形，则 $B E$ 的长为（）．

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $- \sqrt{3}$

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16、1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（）

A、2，3，4 B、5，6，11 C、6，8，10 D、7，12，14

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17、如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B C = 4$ ， $A (0, 2)$ ， $C (2, 0)$ ，点 $M$ 是 $A D$ 上一动点， $N$ 为 $A B$ 的中点，连接 $M N$ ， $M C$ ，当 $M N = M C$ 时，点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(1, 2)$

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18、已知正比例函数 $y = k_{1} x$ ，且y的值随x的增大而减小，如果 $k_{1} k_{2} < 0$ ，那么 $y = k_{1} x$ 和 $y = k_{2} x$ 在同一个直角坐标系中的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（）

A、16时的温度约为1℃ B、在-3℃以上的时间约为16小时 C、温度是-1℃的时刻只有10时 D、温度最低的时刻是4时

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20、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 5 (a$ 为常数）经过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求a的值．

(2)、过点 $A (0, t)$ 与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段 $A C$ 的中点，求t的值．

(3)、设 $m \leq 3 \leq n$ ，抛物线的一段 $y = x^{2} - a x + 5 (m \leq x \leq n)$ 最大值与最小值的差为 $16$ ，求 $n - m$ 的最大值与最小值．

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