相关试卷

1、定义新运算“⊗”，规定a⊗ $b = a^{2} - ∣ b ∣,$ 则 $(- 2) \otimes (- 1)$ 的运算结果为( )

A、-5 B、-3 C、5 D、3

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2、对于有理数x，y，a，t，若|x-a|+|y-a|=t，则称x和y关于a 的“美好关联数”为t.例如|2-1|+|3-1|=3，则2 和3关于1的“美好关联数”为3.

(1)、-3 和 5 关于 2 的“美好关联数”为.

(2)、若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值.

(3)、若x₀和x₁关于1的“美好关联数”为1，x₁和x₂关于2的“美好关联数”为1，x₂和x₃关于3的“美好关联数”为1……x₄₀和x₄₁关于41的“美好关联数”为1……
$① x_{0} + x_{1}$ 的最小值为；
$② x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{40}$ 的最小值为 .

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3、定义新运算：若 $a^{b} = N (a⟩ 0, a \neq 1,$ N>0)，则b 叫作以a 为底 N 的对数，记作log₂N=b.例如：因为 $5^{3} = 125,$ 所以log₅125=3.因为 $1 1^{2} = 121,$ ，所以log₁₁121=2.

(1)、填空： ${l o g}_{3} 3 =$ ， ${l o g}_{0.5} \frac{1}{16} =$ ；

(2)、如果log₅|m-4|=2，求m的值；

(3)、若 log₃27+log₄x=log₂32，求2(x-1)的值.

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4、阅读下列内容，并完成相关的问题.
小明说：“我定义了一种新的运算，叫作‘*(加乘)’运算”，然后他写出了一些按照“*(加乘)”运算的运算法则进行运算的算式：(+4)*(+2)=+6，(-4)*(-3)=+7，(+5)*(-3)=-8，(+6)*(-4)=-10，(+8)*0=8，0*(-9)=9.
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的‘*(加乘)’运算的运算法则了”.
聪明的你也知道了吗?

(1)、模仿计算：(-4)*(+3)= ， (+3)*(-4)= ， (-5)*(-7)= ， 0*(-π)=.

(2)、拓展计算：[(-2)*(+3)]*[(-12)*0](括号的作用与它在有理数运算中的作用一致).

(3)、我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的“*(加乘)”运算中还适用吗?请你选择其中一种，判断它在“*(加乘)”运算中是否适用，并举一个例子验证.

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5、已知a为不等于1的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a 的差倒数.例如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = \frac{1}{- 1} = - 1, - 1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .$ 已知 $a_{1} = - 3, a_{2}$ 是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数.以此类推，则a₂= ， a₂₀₂₁=.

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6、对于有理数a，b定义一种新运算a⊕b= $\frac{2 a + b}{a}, 如 3 \oplus 1 = \frac{2 \times 3 + 1}{3},$ 则[(-2)⊕5]⊕(-1)=.

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7、定义一种新运算：对于任意有理数a，b，都有 $a ▿ b = - a - b^{2} .$ 例如： $2 \nabla 3 = - 2 - 3^{2} =$ -11，则(2021▽2)▽2=.

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8、对于有理数a，b，定义一种新运算“#”，规定：a#b=|a-b|+|a+b|.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示.

(1)、a0，a+b0，a-b0(填“>”“<”或“=”)；

(2)、当a=1，b=-3时，求a#b的值；

(3)、求(-5)#[1#(-2)]的值；

(4)、若(a#a)#a=12，求a的值.

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9、计算： $[(- 5) \times {(- 3)}^{2} - (\frac{2}{3} + \frac{4}{9} - 1 \frac{1}{4}) \div \frac{1}{36}] \div ({- 2}^{2} - 6) + {(- 1)}^{2022}$

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10、计算： ${(- 1)}^{2018} \div ({- 5}^{2}) \times (- \frac{3}{5}) +$ |0.8-1|.

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11、计算： $(- 1) - {{(- 3)}^{3} - [3 + 0.4 \times (- 1 \frac{1}{2})] \div (- 2)}$

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12、计算： ${- 2}^{2} - {(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2} \times (- \frac{2}{3}) - 4^{2} \div ∣ - 4 ∣ .$

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13、计算： ${- 1}^{6} - (0.5 - \frac{2}{3}) \div \frac{1}{3} \times [- 2 - {(- 3)}^{3}] - ∣ \frac{1}{8} - 0 . 5^{2} ∣ .$

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14、小东在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
方程 $x + \frac{1}{2} = 0$ 的解为 $x = - \frac{1}{2},$ 而 $- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1;$ 方程 $2 x + \frac{4}{3} = 0$ 的解为 $x = - \frac{2}{3},$ 而 $- \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - 2 .$
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a，则称之为“奇异方程”.请和小东一起进行以下探究：

(1)、当a=-1时，有符合要求的“奇异方程”吗?若有，请求出该方程的解；若没有，请说明理由.

(2)、若关于x的方程 ax+b=0(a≠0)为“奇异方程”，解关于 y 的方程a(a-b)y+2= $(b + \frac{1}{2}) y .$

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15、定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数.若x≥0，则[x]=x-2；若x<0，则[x]=x+2.例如：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0.

(1)、求 $[\frac{3}{2}], [- 1]$ 的值；

(2)、已知有理数a>0，b<0，且满足[a]=[b]，试求式子( ${(b - a)}^{3} - 2 a + 2 b$ 的值；

(3)、解方程：[2x]+[x+1]=1.

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16、对于两个不相等的有理数m，n，规定： min{m，n}表示m，n 中较小的数.例如min{3，-2}=-2，则方程 min{x，-1}=2(1-x)的解是 ( )

A、 $x = \frac{2}{3}$ 或 $x = \frac{3}{2}$ B、 $x = \frac{3}{2}$ C、 $x = \frac{2}{3}$ D、 $x = \frac{2}{3}$ 或x=-1

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17、对于任意有理数a，b，规定一种新运算“*”，使a*b=3a-2b.例如：5*(-3)=3×5-2×(-3)=21.若(2x-1)*(x-2)=-3，则x的值为( )

A、-3 B、3 C、-1 D、1

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18、定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，那么我们就称这两个方程是“美好方程”.例如：方程2x-1=3与方程x+1=0是“美好方程”.

(1)、请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否是“美好方程”；

(2)、若关于x的方程 $\frac{x}{2} + m = 0$ 与方程3x-2=x+4是“美好方程”，求m的值；

(3)、若关于x的方程 $\frac{1}{2022} x + 1 = 3 x + k$ 与方程 $\frac{1}{2022} x - 1 = 0$ 是“美好方程”，求关于 y 的方程 $\frac{1}{2022} (y + 2) + 1 = 3 y + k + 6$ 的解.

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19、如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：

(1)、每本数学课本的厚度为cm，讲台的高度为cm；

(2)、当有x本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为(用含x的代数式表示)；

(3)、讲台上有55本数学课本，整齐地叠放成一摞，若有16名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的高度.

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20、

(1)、定义：若a>0，b>0，则称) $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ 为a，b的调和平均数.下列表述 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ 实际意义的例子中，正确的是(填序号).
①一辆汽车以a km/h 的速度由甲地开往乙地，然后以b km/h的速度返回，汽车往返两地的平均速度；
②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为a，乙杯含糖率为b，将两杯糖水混合后的含糖率；
③用相等的费用购进甲、乙两种不同的糖果，甲种糖果的单价为每千克a元，乙种糖果的单价为每千克b元，将甲、乙两种糖果混合成什锦糖果，这种什锦糖果每千克的成本价.

(2)、甲、乙两港口相距10 km，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要a h，从乙港口逆水航行到甲港口需要 bh.问：这艘游轮以静水中的速度从甲港口航行到乙港口需要多少小时?

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