相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $M$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，且使 $△ P A M$ 周长最小，求 $△ P A M$ 最小周长；

(3)、在（2）的条件下，若点 $N$ 在直线 $P M$ 上，且 $∠ A B O + ∠ O B N = 45 °$ ，求点 $N$ 的坐标．

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2、如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $A D = 4$ ， $C D = 1$ ．

(1)、求 $A B$ ， $B C$ 的长；

(2)、若点 $E$ 是射线 $D A$ 上的一个动点，作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连结 $F D$ ．
①当 $C F = C D$ 时，求 $D E$ 的长．
②设直线 $E F$ 交直线 $A B$ 于点 $P$ ，若 $A P : B P = 3 : 7$ ，求 $B E$ 的长．

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3、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 $x$ （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 $y$ （万元）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）；

(2)、根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是 $1000 \leq x \leq 1200$ ．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

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4、在 $△ A B C$ 中，如图，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点，点 $P$ 是边 $A B$ 上的点， $Q$ 在边 $B C$ 的延长线上，且 $P M ⊥ Q M$ ，连接 $P Q$ ，若 $∠ B = 30 °$ ， $A P = 6$ ， $P Q = 5$ ，则 $C Q$ 的长度为．

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5、已知 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ ， $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} =$ ．

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6、若 $\sqrt{11}$ 的整数部分是 $m$ ， $\sqrt{5}$ 的整数部分是 $n$ ，则 $\sqrt{5} - \sqrt{m + n} =$ ．

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7、如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 和点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、点 $C$ 在 $y$ 轴上，若 $△ A B C$ 的面积为6，求点 $C$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，若 $△ A B P$ 等腰三角形，求点 $P$ 的坐标；

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8、八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
①测得放风筝的小明到 $C E$ 的距离 $B D$ 的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高 $A B$ 为1.68米．

(1)、求风筝的高度 $C E$ ；

(2)、若小亮让风筝沿 $C D$ 方向下降了8米到点 $M$ （即 $C M = 8$ 米），求 $B M$ 的长度．

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9、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 5) ， B (- 1, 0) ， C (- 4, 3)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在图中作出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、写出点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的坐标．

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10、计算：

(1)、 $- \sqrt{9} + |\sqrt{2} - 2|$ ；

(2)、 $\sqrt{16} + {(π - 2024)}^{0}$ ；

(3)、 $\sqrt{8} \times \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{48} \div \sqrt{3}$ ；

(4)、 $3 \sqrt{27} + 2 \sqrt{75} - 3 \sqrt{12}$ ；

(5)、 $\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{12}$ ；

(6)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ ．

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11、如图，在数轴上，点 $A$ 所对应的实数为0，点 $C$ 对应的实数为2，过 $C$ 作数轴的垂线段 $B C$ ，使得 $B C = 1$ ，再以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 $D$ ，则点 $D$ 对应的实数为

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12、若点 $P (a, b)$ 在第四象限，且点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，到 $y$ 轴的距离为 $5$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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13、已知 $\sqrt{a - 1} + |b + 2| = 0$ ，则 $\sqrt{{(a + b)}^{2}}$ 的值为．

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14、计算： $\sqrt{{(- 5)}^{2}} =$ ； ${(- \sqrt{2025})}^{2} =$ ．

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15、如图是“赵爽弦图”，其中 $△ A B H$ ， $△ B C G$ ， $△ C D F$ ， $△ D A E$ 是四个全等的直角三角形，四边形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 都是正方形．如果 $A B = 10$ ， $D E = 6$ ，那么小正方形 $E F G H$ 的面积是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、油箱中有油 $300 L$ ，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量 $Q (L)$ 与油流出的时间 $t (s)$ 之间的函数解析式和自变量 $t$ 取值范围正确的是（）

A、 $Q = - \frac{1}{12} t + 300$ $(0 \leq t \leq 3600)$ B、 $Q = - \frac{1}{12} t + 300$ $(0 \leq t \leq 12)$ C、 $Q = - \frac{1}{12} t - 300$ $(0 \leq t \leq 3600)$ D、 $ Q = \frac{1}{12} t + 300$ $(0 \leq t \leq 3600)$

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17、点A（－2，3）关于x轴对称的点的坐标是( )

A、（－2，－3） B、（2，3） C、（－2，3） D、（2，－3）

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18、下列各式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt[3]{3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{16}$

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19、下列实数中，属于无理数的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2024 C、 $- \frac{7}{11}$ D、 $\sqrt{16}$

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20、【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 到点 $B (x_{2}, y_{2})$ 的“纵横值”定义为： $D (A, B) = x_{1} - x_{2} + y_{1} - y_{2}$ ．例如： $A (1, 1)$ 到 $B (2, 3)$ 的“纵横值” $D (A, B) = 1 - 2 + 1 - 3 = - 3$ ．
定义2：在平面直角坐标系中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 到射线（或线段） $l$ 的“纵横值” $D (A, l)$ 定义为：点 $A$ 到 $l$ 上所有的“纵横值”的最小值，此时 $l$ 上的对应点称为点 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”．例：求 $A (1, 1)$ 到射线 $l : y = x + 2 (x \leq 5)$ 的“纵横值” $D (A, l)$ 及 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”坐标．
分析：射线 $l$ 上任一点 $P$ 的坐标可表示为 $P (x, x + 2) (x \leq 5)$ ，则 $D (A, P) = 1 - x + 1 - (x + 2) = - 2 x$ ．结合正比例函数的图象可知，当 $x = 5$ 时， $D (A, P)$ 的最小值为 $- 10$ ，即“纵横值” $D (A, l) = - 10$ ，此时 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”为 $(5, 7)$ ．
【任务1：特值感悟】若 $A$ 坐标为 $(- 1, 2)$ ，
① $A$ 到 $B (4, 6)$ 的“纵横值” $D (A, B) =$                （直接写出）；
②求 $A$ 到线段 $l : y = - 2 x - 2 (- 1 \leq x \leq 1)$ 的“纵横值”及 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若 $A (- 1, - 3)$ ， $B (m, n)$ ，且 $D (A, B) = D (B, A)$ ，则 $n$ 与 $m$ 的关系式为：               （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点 $P$ 在某条线段上的“纵横点”坐标为 $(2, - 6)$ ，相应的“纵横值”是8，点 $Q$ 在直线 $a : y = x + 5$ 上，
①所有满足条件的点 $P$ 和直线 $a$ 以及 $x$ 轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；
②若 $D (P, Q) = D (Q, P)$ ，过点 $Q$ 的直线 $b$ 将任务3的①中封闭图形的面积分成 $1 : 2$ 两部分，直接写出直线 $b$ 的表达式                ．

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