相关试卷

1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ B、 $a^{2} - 4 b^{2} = (a + 4 b) (a - 4 b)$ C、 $a^{2} - 2 a + 1 = a (a - 1) + 1$ D、 $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$

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2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、如图1，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(4, 4)$ ．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与 $B C$ 交于点 $E$ ，与 $A B$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、若 $△ O E F$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，求反比例函数的解析式；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将 $△ O E F$ 沿 $x$ 轴的正方向平移得到 $△ P N M$ ，若线段 $A B$ 在 $△ P N M$ 内部的长度为3．求点 $P$ 的坐标．

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4、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ．请解答下列问题．

(1)、计算： $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ；

(2)、计算： $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (\frac{1}{2025})$ ；

(3)、探究是否存在正数 $m$ 使得 ${[f (m + 1)]}^{2} + {[f (\frac{1}{m - 1})]}^{2} + \frac{1}{m} = {[f (\frac{1}{m + 1})]}^{2} + {[f (m - 1)]}^{2}$ 成立，若存在，请求出 $m$ 的值．

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5、如图所示，直线 $l ： y = k x + 2 k (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、若 $O A = O B$ ，求直线 $l$ 的解析式；

(2)、当 $k$ 取不同的值时，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上运动，以 $A$ 为旋转中心，将线段 $A B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得线段 $A M$ ，将线段 $A O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得线段 $A N$ ，连接 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，求证： $A P$ 的长为定值．

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6、在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ C = 2 ∠ B$ ，求证： $A B = A C + C D$ ．

证明：如图，在 $A B$ 边上截取一点 $E$ ，使得 $A E = A C$ ，连接 $D E$ ．

在 $△ A D C$ 和 $△ A D E$ 中．

$\{\begin{array}{l} A C = A E \\ ∠ 1 = ∠ 2 \\ A D = A D \end{array}$

$∴$ ①___________

$∴ D E = D C ， ∠ 3 = ∠ C$

又 $∵ ∠ C = 2 ∠ B$

$∴ ∠ 3 = 2 ∠ B = ∠ 4 + ∠ B$

$∴ ∠ 4 = ∠ B$

$∴$ ②___________

$∴ B E = D C$

又 $∵ A B = A E + B E$

$∴$ ③___________

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：___________；“②”处应填：___________；“③”处应填：___________．

刘老师进一步谈到：证明线段相等问题时，可根据已知条件，在较长线段上截取一段，构造三角形全等的条件．通过证明三角形全等解决问题，此过程体现了转化的思想方法．

【知识迁移】

如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上一点，点 $G$ 在 $B C$ 延长线上， $F E ⊥ A E ， C F$ 平分 $∠ D C G$ ，求证： $A E = E F$ ．

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7、在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ，过 $O$ 的直线 $E F$ ，将平行四边形 $A B C D$ 等分成面积相等的四边形 $A E F D$ 和四边形 $C F E B$ ．
课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）．

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8、为深入学习贯彻 $2024$ 年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织了以“聚焦两会热点 $\cdot$ 争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各 $10$ 名学生的成绩 $($ 单位：分 $)$ ，进行了如下数据的整理与分析．
数据收集：
八年级 $10$ 名学生的竞赛成绩分别为： $85$ ， $85$ ， $90$ ， $75$ ， $90$ ， $95$ ， $80$ ， $85$ ， $70$ ， $95$ ；
九年级 $10$ 名学生的竞赛成绩分别为： $80$ ， $95$ ， $80$ ， $90$ ， $85$ ， $75$ ， $95$ ， $80$ ， $90$ ， $80$ ．
数据整理分析：

平均数
中位数
众数
方差
八年级
$85$
$a$
$85$
$60$
九年级
$85$
$82.5$
$b$
$45$
根据以上统计信息，回答下列问题：

(1)、表中 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、若该校八年级 $600$ 名学生均参加了本次知识竞赛，请你估计该校八年级学生本次竞赛成绩在 $85$ 分及以上的学生人数；

(3)、九年级的小芬认为，在此次知识竞赛中，九年级成绩比八年级成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明理由．

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9、解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程．

学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发 $1 h$ 后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校 $15 km$ 处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的 $1.5$ 倍，求老师和学生的速度各是多少？

小张： $\frac{15}{x - 1} = 1.5 \times \frac{15}{x}$ ．

小李：设学生的速度为 $y km / h$ ．

根据以上信息，解答下列问题．

(1)、小张所列方程中的

x

表示___________；

(2)、根据小李设的未知数，列方程并解答．

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10、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(- 1, 1)$ 和点 $(1, - 5)$ ，求当 $x = 5$ 时，函数y的值．

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11、计算： $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$ ．

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12、如图1，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形．直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 由原点开始向上平移，所得的直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 与矩形 $O A B C$ 两边分别交于 $M 、 N$ 两点，设 $△ O M N$ 面积为 $S ， S$ 与 $b$ 函数关系的图象如图2所示．
（1）点 $A$ 的坐标为；
（2）当 $2 \leq b \leq 3$ 时，函数 $S$ 与 $b$ 函数解析式为．

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13、如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (2, 3) ， B (a, - 1)$ ．则不等式 $\frac{1}{2} x + b < \frac{k}{x}$ 的解集为．

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14、如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为．

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15、若分式方程 $\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$ 有增根，则增根为．

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16、四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S²如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选．
甲
乙
丙
丁
平均环数
7
8
8
7
s²
1
1
1.2
1.8

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17、如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限内交于点 $A 、 B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C ， A B = B C$ ．若 $S_{△ O A C} = 9$ ，则 $k$ 的值为（　　）

A、3 B、6 C、9 D、12

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18、代数式 $(1 - \frac{1}{m + 1}) \cdot (1 - \frac{1}{m})$ 的值一定不为（　　）

A、3 B、2 C、1 D、0

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，且 $D E = D A$ ， $A F ⊥ D E$ ，垂足为点 $F$ ，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A、 $△ A F D ≌ △ D C E$ B、 $B E = A D - D F$ C、 $A B = A F$ D、 $A F = \frac{1}{2} A D$

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20、若将 $x$ 、 $y$ 的值扩大3倍，分式 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ 的值（　　）

A、缩小3倍 B、不变 C、扩大3倍 D、扩大9倍

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	平均数	中位数	众数	方差
八年级	$85$	$a$	$85$	$60$
九年级	$85$	$82.5$	$b$	$45$

	甲	乙	丙	丁
平均环数	7	8	8	7
s²	1	1	1.2	1.8