相关试卷

1、阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数， $Δ$ 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b²的值为该“友好方程”的“超强代码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = 4 a c - b^{2}$ ；若另一关于x的一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = 4 c$ 时，则称一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．

(1)、“友好方程” $x^{2} - x - 6 = 0$ 的“超强代码”是；

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （m为整数，且 $4 < m < 15$ ）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （m ， n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 的一个根是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ 的一个根的2倍，求m和n的值.

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2、已知某抛物线的解析式为y＝x²－4ax+2a+1，a为实数．

(1)、若该抛物线经过点（5，8），求此抛物线的顶点坐标．

(2)、如果当2a－3≤x≤2a+1时，y的最大值为4，求a的值．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = 2 B C$ ， ∠ABD＝90^o ， E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ．

(1)、求证：四边形 $B C D E$ 是菱形；

(2)、连接 $A C$ ，若 $A C ⊥ B E$ ， $B C = 2$ ，求△ACD的面积．

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4、Deepseek可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，激发学生的自主学习兴趣．某学校开展“Deepseek”使用技巧培训活动，为了解学生的使用水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用 $x$ 表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表：
DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布表
组别
分数段
频数
A
$60 \leq x < 70$
5
B
$70 \leq x < 80$
m
C
$80 \leq x < 90$
10
D
$90 \leq x \leq 100$
20
$C$ 组学生的成绩：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89．
根据以上信息解决下列问题：

(1)、本次调查样本容量为；

(2)、表格中的m为，本次调查数据的中位数为；

(3)、请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数．

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5、已知一次函数图象经过点A（2，4），B（－3，14）两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点．

(1)、求此一次函数解析式．

(2)、求△MON的面积．

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6、计算： $\sqrt[3]{- 8} + \sqrt{12} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + {(\sqrt{2} + 1)}^{0}$

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7、如图，矩形ABCD中，AB＝6 ， BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE ，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B^'处．当△CEB^'为直角三角形时，BE的长为．

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8、函数y＝kx与y＝6－x的图象如图所示，则k＝．

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9、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若CD＝8cm，则EF的长为cm．

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10、甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按20%、30%、50%的比例计算成绩，则甲的综合得分为分．

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11、已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 与 $y = \frac{1}{2} x^{2} - b x$ 的图象均过点A（4，0）和坐标原点O ，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B、C两点.给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O、A、B、C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q、B、C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为 $5 + \sqrt{13}$ ．其中，所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

A、x²+6²＝（10－x）² B、x²－10²＝（6+x）² C、6²＝10²－x² D、x²＝（10+x）²

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13、已知抛物线y＝－（x+1）²+3，下列结论中错误的是（）

A、抛物线的开口向下 B、抛物线的对称轴为直线x＝－1 C、当x＝－1时，y取最大值3 D、当x>－1时，y随x的增大而增大

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14、下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、AB²+BC²＝AC² B、∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C、AB＝3，AC＝4，BC＝5 D、∠A－∠B＝∠C

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15、抛物线y＝（x－1）²+5的顶点坐标为（）

A、（－1，5） B、（－1，－5） C、（1，5） D、（1，－5）

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16、关于x的函数y＝ax²是二次函数，则a应满足的条件是（）

A、a≠1 B、a＝1 C、a≠0 D、a＝0

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17、如图1， $A B ∥ C D$ ，直线 $P Q$ 与 $A B$ 交于点E ，与 $C D$ 交于点F ， M是 $A B$ 上方一点且 $P E$ 平分 $∠ M E B$ ， N是 $C D$ 上一点，连接 $M E$ ， $M N$ ， $M N$ 交 $A B$ 于点H ．

(1)、若 $∠ P E B = 58 °$ ， $∠ N H E = 109 °$ ，求 $∠ M$ 度数；

(2)、如图2，过点N作 $∠ C N M$ 的平分线交直线 $A B$ 于点J ，交直线 $P Q$ 于点K ．试探究 $∠ N M E$ 与 $∠ N K F$ 之间的数量关系；

(3)、如图3，连接 $H F$ ，若 $∠ N F H = 60 °$ ， $∠ H E M = 40 °$ ，将线段 $H F$ 绕着点F以每秒 $1 °$ 的速度逆时针旋转，将线段 $M E$ 绕着点E以每秒 $2 °$ 的速度顺时针旋转，线段 $M E$ 旋转一周停止，设运动时间为t秒．经过多长时间线段 $M E$ 与线段 $H F$ 平行，请直接写出此时的时间t ．

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18、定义：不妨约定，在平而直角坐标系中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $P (\frac{x_{1} + x_{2}}{6}, \frac{y_{1} + y_{2}}{6})$ 叫作 $A B$ 的“郡点”，且把数值 $M = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 叫作 $A B$ 的“郡值”．

(1)、若 $P (2, 1)$ 是 $A (3, a)$ ， $B (b, 2)$ 的“郡点”，则 $a =$ ， $b =$ ， $A B$ 的“郡值”为；

(2)、若 $P (a + 1, - a)$ 是 $A (x + y, - 2)$ ， $B (2, - x + 2 y)$ 的“郡点”，且M为 $A B$ 的“郡值”，且无论 $a$ 为何值，等式“ $x k - 2 y t + M = 0$ ”恒成立，求k ， t的值；

(3)、若 $P (\frac{a + 3}{6}, \frac{a + 1}{6})$ 是 $A (a + 2, 2 b)$ ， $B (b, a - 1)$ 的“郡点”，且 $A B$ 的“郡值” $M = 6$ ．若关于x的方程 $x - \frac{1}{2} m = 2 n$ 的解在关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - b \geq m - n \\ a x - 2 a \leq m + 3 n \end{array}$ 范围内，且所有符合条件的正整数n之和为9，求m的取值范围．

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19、民以食为天，保障粮食安全始终是治国安邦的头等大事．某现代化农业园区积极响应“藏粮于地、藏粮于技”战略，计划投入专项资金引入新型农机设备，以此提升粮食生产效率与规模．

(1)、已知购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，而购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元．那么，购进1台智能播种机和1台自动化收割机分别需要多少资金呢？

(2)、该农业园区规划购进这两种农机设备共10台，且资金投入需控制在95万元到120万元之间（包含95万元与120万元）．在满足预算与生产需求的前提下，有哪几种可行的采购方案呢？

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20、如图，点M是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上一点，过点M作 $M N ∥ A C$ 交 $B C$ 于点N ，点D是 $B C$ 延长线上一点， $C E$ 平分 $∠ A C D$ ，且 $∠ A M N + ∠ A C E = 180 °$ ．

(1)、试说明： $C E ∥ A B$ ；

(2)、若 $∠ B = 65 °$ ，求 $∠ A M N$ 的度数．

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组别	分数段	频数
A	$60 \leq x < 70$	5
B	$70 \leq x < 80$	m
C	$80 \leq x < 90$	10
D	$90 \leq x \leq 100$	20