相关试卷

1、如图1所示是一个长为 $2 m$ ，宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

(1)、图2中的阴影部分的正方形的边长等于_____；

(2)、请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积：
方法1__________；方法2__________．

(3)、比较（2）中的方法1和方法2，试写出 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $m n$ 这三个代数式之间的等量关系：___________________________________．

(4)、若 ${(m + n)}^{2} = 27$ ， ${(m - n)}^{2} = 3$ ，请利用（3）中的结论，求 $m n$ 的值．

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2、张华家自建楼房，设计的窗户形状如图所示，其上部是一个半圆形，下部的两扇窗是大小一样的两个小长方形，且每扇窗的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ ，窗框和窗都是铝合金材料（图中实线部分），窗户全部安装玻璃．

(1)、用含 $x$ 、 $y$ 的式子表示：制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长 $L =$ _____ $m$ ，这扇窗户的采光面积 $S =$ _____ $m^{2}$ （窗框忽略不计）；

(2)、为了使窗户看起来比较美观，窗户的总宽度与总高度的比值设计成0.6，若窗户的总宽度为 $1.2 m$ ，求 $L$ 和 $S$ 的值；

(3)、张华家准备让门窗供应商为他家安装窗户，商家规定的收费标准如下：①上门服务费为500元；②窗户总面积在 $5 m^{2}$ 以内（含 $5 m^{2}$ ）按600元/ $m^{2}$ 收费；③超过 $5 m^{2}$ 不超过 $10 m^{2}$ 部分按 $500 元 / m^{2}$ 收费；④超过 $10 m^{2}$ 部分按 $400 元 / m^{2}$ 收费，已知张华家楼房共有10扇这样的窗户，问安装这些窗户共需要多少元？（其中 $π$ 取3）

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3、一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位： $m$ ），分为 $I ， Ⅱ ， Ⅲ ， Ⅳ$ 四个区域，则这所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为，这个多项式的次数是．

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4、在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．

仿照前三个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示，若这个两位数的个位数字为 $x$ ，则这个两位数为（）（用含 $x$ 的代数式表示）．

A、 $11 x$ B、 $x + 50$ C、 $- x + 50$ D、 $10 x + 5$

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5、已知 $a$ ， $b$ 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）．

A、 $a < b$ B、 $a b > 0$ C、 $b - a > 0$ D、 $a + b > 0$

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6、线段 $A B$ 上有一动点 $P$ （点 $P$ 不与点 $A$ 重合），在线段 $A P$ 的中垂线上（ $A B$ 上方）有一点 $Q$ ，使得 $Q A = \frac{1}{2} A B$ ，以 $Q$ 为圆心， $Q A$ 为半径的圆，叫线段 $A B$ 的关联圆．
如图，点 $C (1, - 1)$ ， $D (5, - 1)$ ， $⊙ M$ 为线段 $C D$ 的关联圆．

(1)、 $E (0, 2)$ ， $F (3, 1)$ ， $G (4, 1)$ ， $H (2, 0)$ 四个点中，在线段 $C D$ 的关联圆上的点有______；

(2)、线段 $T R$ 在 $x$ 轴上，其中点 $T (t, 0)$ ， $R (t + 1, 0)$ ，若线段 $T R$ 上所有点都在线段 $C D$ 的关联 $⊙ M$ 上，求 $t$ 的取值范围；

(3)、直线 $y = - x + b$ 与线段 $C D$ 的关联圆 $⊙ M$ 相切，直接写出 $b$ 的取值范围______．

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7、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = α (0 < α < 45 °)$ ， $A M ⊥ B C$ 于点 $M$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $M$ 重合），将线段 $D M$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $2 α$ 得到线段 $D E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $M C$ 上，求证： $M E ⊥ A C$ ；

(2)、如图2，若 $D$ 在线段 $B M$ 上，在射线 $M B$ 上存在点 $F$ 满足 $D F = D C$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ，依题意补全图形，并证明： $A E ⊥ F E$ ．

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - m x + n$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，用含 $n$ 的式子表示顶点坐标；

(2)、已知点 $P (- 1, 2)$ ，将点 $P$ 向右平移4个单位长度，得到点 $Q$ ．当 $n = 3$ 时，若抛物线与线段 $P Q$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

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9、在图1—图4中，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，等腰直角三角形 $F A E$ 的斜边 $A E = 2 b$ ，且边 $A D$ 和 $A E$ 在同一直线上．
小明的做法：当 $2 b < a$ 时，如图1，在 $B A$ 上选取点 $G$ ，使 $B G = b$ ，连结 $F G$ 和 $C G$ ，裁掉 $△ F A G$ 和 $△ C G B$ 并分别拼接到 $△ F E H$ 和 $△ C H D$ 的位置构成四边形 $F G C H$ ．
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将 $△ F A G$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ F E H$ 的位置，易知 $E H$ 与 $A D$ 在同一直线上．连结 $C H$ ，由剪拼方法可得 $D H = B G$ ，故 $△ C H D ≌ △ C G B$ ，从而又可将 $△ C G B$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ C H D$ 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形 $F G C H$ （如图1），过点 $F$ 作 $F M ⊥ A E$ 于点 $M$ （图略），利用 $SAS$ 公理可判断 $△ H F M ≌ △ C H D$ ，易得 $F H = H C = G C = F G$ ， $∠ F H C = 90 °$ ．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 $F G C H$ 是正方形．
解决下列问题：

(1)、正方形 $F G C H$ 的面积是______；（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

(2)、类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

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10、如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $P$ 在 $A C$ 上，将 $△ A B P$ 绕顶点 $B$ 沿顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ C B Q$ ．

(1)、求 $∠ P C Q$ 的度数；

(2)、若 $P A = 1$ ， $P C = \sqrt{7}$ ，求 $P B$ 的长．

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11、如图，点 $E$ 是边长为2的正方形 $A B C D$ 内一点，且 $∠ E = 90 °$ ，将线段 $D E$ 以点 $D$ 为中心逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D F$ ，点 $G$ 是 $B C$ 的中点，连接 $F G$ ，则 $F G$ 的最大值为．

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12、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标满足如表：
$x$
$\cdot \cdot \cdot$
$- 3$
$- 2$
0
1
3
5
$\cdot \cdot \cdot$
$y$
$\cdot \cdot \cdot$
7
0
$- 8$
$- 9$
$- 5$
7
$\cdot \cdot \cdot$
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②拋物线的对称轴为直线 $x = 2$ ；
③ $x = - 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c + 5 = 0 (a \neq 0)$ 的一个根；
④若点 $(- 3, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 都在抛物线上，且 $y_{2} > y_{1}$ ，则 $x_{2}$ 的取值范围是 $- 3 < x_{2} < 5$ ．
其中正确的结论有（）

A、①③ B、②④ C、①③④ D、①④

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13、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 中，若 $∠ A C B = 55 °$ ，则 $∠ A B O$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、【背景知识】1．数轴揭示了数与点之间的内在联系，使数和数轴上的点建立起对应关系，它是“数形结合”的典型体现．有理数 $a$ 和 $b$ 在数轴上对应的点分别为 $A$ 和 $B$ ，则 $A, B$ 两点之间的距离表示为 $|a - b|$ ，记为 $A B = |a - b|$ ．
2．定义：若 $P A$ 是 $n$ 倍的 $P B$ （即 $P A = n P B$ ），或 $P B$ 是 $n$ 倍的 $P A$ （即 $P B = n P A$ ），则称点 $P$ 为线段 $A B$ 的“ $n$ 倍点”．例如：点 $A$ 表示的数是 $- 2$ ，点 $B$ 表示的数是1，则点 $P$ 作为线段 $A B$ 的“2倍点”对应的数有 $- 5$ （如图1-1）， $- 1$ （如图1-2），0（如图1-3），4（如图1-4）．
【问题情境】如图2，已知点 $C$ 表示的数是 $- 2$ ，点 $D$ 表示的数是4．点 $P$ 从点 $C$ 出发，以每秒2单位长度的速度向右运动．
【综合运用】

(1)、 $C D =$ ___________（请填写最简形式）；

(2)、若点 $E$ 表示的数是10，则点 $E$ ___________（填“是”或“不是”）线段 $C D$ 的“2倍点”；

(3)、 $t$ 秒后，点 $P$ 表示的数为___________（用含 $t$ 的代数式表示）；

(4)、若点 $M$ 为线段 $C P$ 的“1倍点”，点 $N$ 为线段 $D P$ 的“1倍点”，请问点 $P$ 在运动过程中，线段 $M N$ 的长度会不会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 $M N$ 的长；

(5)、若点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动．当点 $P$ 到达点 $D$ 时， $P$ ， $Q$ 点同时停止运动．当 $t =$ ___________时，原点 $O$ 为线段 $P Q$ 的“3倍点”．

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16、如图，已知线段 $A B = a$ ，请用尺规按下列步骤作图：

(1)、延长线段 $A B$ 到 $C_{1}$ ，使 $B C_{1} = A B$ ，再延长线段 $B A$ 到 $D_{1}$ ，使 $A D_{1} = A C_{1}$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、如果 $a = 2 cm$ ，那么 $C_{1} D_{1} =$ cm；

(3)、将（1）中的操作视为第1次尺规作图；接着延长 $A C_{1}$ 到 $C_{2}$ ，使 $C_{1} C_{2} = A C_{1}$ ，再延长线段 $C_{1} A$ 到 $D_{2}$ ，使得 $A D_{2} = A C_{2}$ ，视为第2次尺规作图；当第3次尺规作图时， $C_{3} D_{3} =$ ；按这样的方式，当第 $n$ 次尺规作图时， $C_{n} D_{n} =$ ．（结果用含 $a$ 和 $n$ 的代数式表示）

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17、一家商店将某种服装按成本提高 $40 %$ 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
分析：设这种服装每件的成本价为 $x$ 元．依题意可得

(1)、请你依据分析，在横线上填写代数式；

(2)、请你求出这种服装的成本单价．

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18、某学校为了了解本校七年级学生近视程度，随机抽取了七年级部分学生，并绘制成了扇形统计图和条形统计图，如下图：
请你根据相关信息回答下列问题：

(1)、本次调查一共调查了___________名学生；

(2)、表示“重度近视”所对扇形圆心角的度数为___________°，并补充完整条形统计图；

(3)、该校七年级有300名学生，估计该校七年级“不会近视”的人数有多少？（写出必要的解答过程）

(4)、经调查统计发现：近视程度与电子屏幕使用时间、运动时间等因素有强相关．请你根据该发现提出一个预防近视或减轻近视的建议．

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19、小杰化简代数式 $\frac{1}{4} (- 4 x^{2} + 2 x - 8) - (\frac{1}{2} x - 1)$ 的步骤如下：
$\frac{1}{4} (- 4 x^{2} + 2 x - 8) - (\frac{1}{2} x - 1)$
$= - x^{2} + \frac{1}{2} x - 2 - \frac{1}{2} x - 1$ ………………①
$= - x^{2} + (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x) + (- 2 - 1)$ …………②
$= - x^{2} - 3$ ………………………………③

(1)、请你判断小杰的化简过程中开始出现错误的步骤是；（填序号）

(2)、请你写出正确的化简过程，并计算当 $x = 1$ 时该代数式的值．

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20、解方程： $\frac{2 x + 1}{6} = \frac{5 x - 1}{8}$ ．

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$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$- 3$	$- 2$	0	1	3	5	$\cdot \cdot \cdot$
$y$	$\cdot \cdot \cdot$	7	0	$- 8$	$- 9$	$- 5$	7	$\cdot \cdot \cdot$