相关试卷

1、【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题．

(1)、【操作探究】如图1，将长方形纸片 $A B C D$ 的一角折叠，使顶点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $E, F$ 是 $A B, A D$ 边上的点， $E F$ 为折痕，此时测量 $∠ A E F = 70 °$ ，则 $∠ A^{'} E F =$ $°$ ：

(2)、【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片 $A B C D$ 的一角沿EF为折痕折叠，使得 $E A^{'}$ 恰好平分 $∠ F E B$ ，求 $∠ F E B$ 的度数；

(3)、【拓展提升】如图3，在长方形纸片 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ，在 $A C$ 上取一点 $P$ ，沿经过点 $P$ 的折痕 $P M$ 折叠，使得点 $A$ 落在直线 $B C$ 上的点 $A^{'}$ 处，沿经过点 $P$ 的折痕 $P N$ 折叠，使得点 $C$ 落在线段 $A B$ 上的点 $C^{'}$ 处，展开后，连接 $P A^{'}, P C^{'}, ∠ A^{'} P C^{'} = n ° (0 < n < 180)$ ，请直接用含 $n$ 的代数式写出两条折痕所夹的 $∠ M P N$ 的度数． $(0 ° < ∠ M P N < 180 °)$

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2、【综合与实践】某学校数学兴趣小组开展“正方体纸盒的制作”活动．

(1)、【知识准备】纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选择1个涂色，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒．

(2)、【动手操作】在“制作正方体纸盒”的实践活动中，数学兴趣小组利用若干个长方形纸板制作正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
方案一：制作无盖正方体纸盒
①若纸板是个边长为6cm的正方形，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为 $x cm$ ，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．
此时， $x =$ _____cm．
②若纸板是个边长为acm的正方形，按图2所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为 $x cm$ ，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与a之间满足的等量关系是_____．
方案二：制作有盖正方体纸盒
③若纸板是个宽为 $a cm$ ，长为 $b cm$ 的长方形纸板，按图3所示，在长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形（图中三个阴影部分），剩下部分恰好可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一图2中的无盖正方体纸盒大小一样．求 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系？

(3)、【能力拓展】在方案二的条件下，求代数式 $2 (5 a - 3 b + 1) - 3 (2 a - b - 1)$ 的值．

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3、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．其自来水收费的价目表如下：（注：水费按每户家庭每月份结算）；

类别	每月用水量	单价
第一阶梯	$0 ~ 20$ 立方米（包括20立方米）	$2.50$ 元/立方米
第二阶梯	$20 ~ 30$ 立方米（包括30立方米）	$4.00$ 元/立方米
第三阶梯	30立方米以上	$6.00$ 元/立方米

(1)、小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费_____元；

(2)、小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？

(3)、小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？

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4、第十五届全国运动会由粤港澳三地首次联合承办，在比赛期间，深圳市掀起了一股体育健身的热潮．某学校为了解学生在周末时间的体育锻炼情况，随机抽取部分学生对“周末的体育锻炼时长”进行了问卷调查，将结果分为A，B，C，D四个类别．A：1小时以内，B：1至3小时，C：3至5小时，D：5小时以上，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、该校共调查了名学生；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、表示A类别的扇形圆心角 $α$ ＝°；

(4)、若该中学有2000名学生，估计D类别的有多少人？

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5、如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图．

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6、以下是小红同学进行整式化简的过程．请根据下列化简步骤回答问题：
化简： $5 x y - 3 x^{2} - 2 (x y - x^{2})$
原式 $= 5 x y - 3 x^{2} - (2 x y - 2 x^{2})$
$= 5 x y - 3 x^{2} - 2 x y - 2 x^{2}$
$= 3 x y - 5 x^{2}$

(1)、以上步骤中第一步依据的运算律是（）
A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法分配律 D．乘法结合律

(2)、从第_____步开始出现错误，出现错误的原因是_____．

(3)、请写出正确的化简过程，并计算当 $x = 1, y = 2$ 时该整式的值．

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7、（1）计算
① $31 + (- 28) + 28 + 69$
② $- 1^{2026} + (- 3) \div (- \frac{1}{2}) - |- 6|$
（2）解方程 $\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{6}$ ；

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8、对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式 ${(x + y)}^{(a - b)}$ 的值为．

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9、对于数 $a, b, c, d$ ，规定一种数的运算： $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ，那么当 $|\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & x \end{matrix}| = 10$ 时， $x =$ ．

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10、如图，线段 $A B$ 长 $8 cm$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，则线段 $C D$ 的长为 $cm$ ．

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11、有一批商品，售价不变，如果成本上涨 $20 %$ ，那么利润率将降低 $26 %$ ；如果成本上涨 $30 %$ ，那么利润率变为（）

A、 $30 %$ B、 $26 %$ C、 $20 %$ D、 $10 %$

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12、《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为 $x$ 人，则下面列的方程正确的是（）

A、 $8 x + 3 = 7 x - 4$ B、 $8 x - 3 = 7 x + 4$ C、 $\frac{x - 3}{8} = \frac{x + 4}{7}$ D、 $\frac{x + 3}{8} = \frac{x - 4}{7}$

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13、某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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14、已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线 $A B$ ，画射线 $C A$ ，连接 $B C$ ，正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（）分米

A、a B、 $a^{2}$ C、 $4 a$ D、 $8 a$

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16、陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、 $2025$ 年 $12$ 月 $21$ 日是我国二十四节气中的冬至，深圳当天的最低气温是 $15 ° C$ ，记作 $+ 15 ° C$ ，北京当天的最低气温是零下 $5 ° C$ ，应记作（）

A、 $- 5 ° C$ B、 $+ 5 ° C$ C、 $- 10 ° C$ D、 $+ 10 ° C$

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18、如图1， $E$ 是等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 所在直线上一点， $D$ 是边 $B C$ 所在直线上一点，且 $D$ 与 $C$ 不重合，若 $E C = E D$ ．则称 $D$ 为点 $C$ 关于等边三角形 $A B C$ 的反称点，点 $E$ 称为反称中心．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，

(1)、已知等边三角形 $A O C$ 的顶点 $C$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $A$ 在第一象限内，反称中心 $E$ 在直线 $A O$ 上，反称点 $D$ 在直线 $O C$ 上．
①如图2，若 $E$ 为边 $A O$ 的中点，在图中作出点 $C$ 关于等边三角形 $A O C$ 的反称点 $D$ ，并直接写出点 $D$ 的坐标：_______；
②若 $A E = 2$ ，求点 $C$ 关于等边三角形 $A O C$ 的反称点 $D$ 的坐标；

(2)、若等边三角形 $A B C$ 的顶点为 $B (n, 0)$ ， $C (n + 2, 0)$ ，反称中心 $E$ 在直线 $A B$ 上，反称点 $D$ 在直线 $B C$ 上，且 $3 < A E \leq 4$ ．请直接写出点 $C$ 关于等边三角形 $A B C$ 的反称点 $D$ 的横坐标 $t$ 的取值范围：．（用含 $n$ 的代数式表示）

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $D$ ，分别连接 $B D$ 、 $A D$ ，点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $E$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，连接 $A F$ 并延长，交 $B C$ 于点 $G$ ．

(1)、根据题意补全图形；

(2)、求证： $∠ E A G = ∠ D A G$ ．

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20、综合与探究
问题情境：
数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $C D$ 于点 $F$ ．
初步分析：
（1）智慧小组的同学发现 $△ C E F$ 是等腰三角形，请你证明这一结论；
（2）博学小组的同学发现给 $△ A B C$ 添加一个条件，可使 $△ C E F$ 成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）；
操作探究：
（3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究．
如图2，将 $△ A C E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 恰好落在 $A B$ 上．连接 $F C^{'}$ ，猜想此时线段 $F C^{'}$ 与 $C E$ 的位置关系，并证明．

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