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1、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 为线段 $A C$ 上一动点，点 $E$ 为射线 $B P$ 上的一点（点 $E$ 与点 $B$ 不重合）．

(1)、【问题解决】
如图①，若点 $P$ 与线段 $A C$ 的中点 $O$ 重合，则 $∠ P B C =$ 度，线段 $B P$ 与线段 $A C$ 的位置关系是；

(2)、【问题探究】
如图②，在点 $P$ 运动过程中，点 $E$ 在线段 $B P$ 上，且 $∠ A E P = 30 °, ∠ P E C = 60 °$ ，探究线段 $B E$ 与线段 $E C$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
在点 $P$ 运动过程中，将线段 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到 $E F$ ，射线 $E F$ 交射线 $B C$ 于点 $G$ ，若 $B E = 2 F G, A B = 5$ ，求 $A P$ 的长．

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2、用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 $x$ 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 $F$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{1}$ ，且 $C_{1} : y = a x^{2} + b x + c$ ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 $G$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{2}$ ，且 $C_{2} : y = - \frac{1}{5} x^{2} + m x + n$ ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）

(1)、如图②，当 $a = - \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$ 时，若点 $F$ 坐标为 $(2, 0)$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

(2)、在（1）的条件下，若 $F G = 4$ ，在水面上有一个截面宽 $A B = 1$ ，高 $B C = 0.5$ 的矩形 $A B C D$ 的障碍物，点 $A$ 的坐标为 $(4.5, 0)$ ，判断此时石块沿抛物线 $C_{2}$ 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；

(3)、小星在抛掷石块时，若 $C_{1}$ 的顶点需在一个正方形 $M N P Q$ 区域内（包括边界），且点 $F$ 在 $(3, 0)$ 和 $(4, 0)$ 之间（包括这两点），其中 $M (\frac{1}{2}, 1), N (1, 1), Q (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线 $C_{1}$ 在同一平面内）

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3、如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A C B$ 是直角， $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点， $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ．连接 $C D$ ， $B D$ ．

(1)、点 $O$ 与 $A B$ 的位置关系是，线段 $C D$ 与线段 $B D$ 的数量关系是；

(2)、过 $E$ 点作 $E F ⊥ A E$ ，与 $A D$ 的延长线交于点 $F$ ．根据题意补全图形，判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $⊙ O$ 的半径为 $3, D E = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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4、某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知 $B D = 28 m, C D = 21 m$ ，该地冬至正午太阳高度角 $α$ 为 $35 °$ ．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 $A B$ 的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿 $B D$ 方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.57, c o s 35 ° \approx 0.82, t a n 35 ° \approx 0.70$ ．结果保留小数点后一位）

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5、贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共 $200 t$ ，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共 $280 t$ ．

(1)、求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？

(2)、为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于 $2000 t$ ，至少需要安装多少条A型生产线？

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6、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $A C$ 上的中点，连接 $B E$ ，且 $B E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ．延长 $B C$ 至 $F$ ，使 $C F = C E$ ，连接 $E F$ ， $F D$ ，且 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $▱ A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $B E = E F, E C = 4$ ，求 $△ D C F$ 的面积．

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7、贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、甲队员成绩的众数为环，乙队员成绩的中位数为环；

(2)、你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？（填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是（填“平均数”“众数”或“中位数”）；

(3)、若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）

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8、小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 $(g ā o)$ 的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上 $O$ 点，并可绕 $O$ 点转动．在横杆 $A$ 处连接一竹竿，在横杆 $B$ 处固定 $300 N$ 的物体，且 $O B = 1 m$ ．若图中人物竖直向下施加的拉力为 $F$ ，当改变点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l$ 时，横杆始终处于水平状态，小星发现 $F$ 与 $l$ 有一定的关系，记录了拉力的大小 $F$ 与 $l$ 的变化，如下表：
点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l / m$
1
$1.5$
2
$2.5$
3
拉力的大小 $F / N$
300
200
150
120
$a$

(1)、表格中 $a$ 的值是；

(2)、小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 $F$ 与 $l$ 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；

(3)、根据以上数据和图象判断，当 $O A$ 的长增大时，拉力 $F$ 是增大还是减小？请说明理由．

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9、

(1)、计算： $| - 3 | - 2^{- 1} \times 6 + \sqrt{4}$ ；

(2)、先化简： $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a (a - 1)}$ ，再从 $- 1, 0, 2$ 中选取一个使原式有意义的数代入求值．

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E ， F ， M分别在 $A B$ ， $D C$ ， $A D$ 边上， $B E = 2 C F, F M$ 分别交对角线 $B D$ 、线段 $D E$ 于点G ， H ，且 $H$ 是 $D E$ 的中点．若 $C F = 2, ∠ A B D = 30 °$ ，则 $H G$ 的长为．

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11、实数a ， b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系是 $a$ b ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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12、一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是．

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13、如图，一次函数 $y = x (x \geq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C$ ，过反比例函数图象上点 $A$ 作 $x$ 轴垂线，垂足为点 $D$ ，交 $y = x$ 的图象于点 $B$ ，点 $A$ 的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点 $C$ 的坐标为 $(3, 3)$ ；③当 $x > 3$ 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 5, ∠ A B C = 60 °$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $E C$ 的长为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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15、如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（）

A、越来越慢 B、越来越快 C、保持不变 D、快慢交替变化

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16、如图，已知 $△ A B C ∽ △ D E F, A B : D E = 2 : 1$ ，若 $D F = 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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17、若分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值为0，则实数 $x$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、-3

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18、某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（）
抛掷次数 $n$
20
60
100
120
140
160
500
1000
2000
5000
“正面朝上”的次数 $m$
12
38
58
62
75
88
275
550
1100
2750
“正面朝上”的频率 $\frac{m}{n}$
$0.60$
$0.63$
$\begin{array}{l} 0.58 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.52 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.54 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（）

A、 $0.52$ B、 $\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$ C、 $0.58$ D、 $0.63$

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19、已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x + m = 7$ 的解，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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20、如图，在平面直角坐标系中有A ， B ， C ， D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l / m$	1	$1.5$	2	$2.5$	3
拉力的大小 $F / N$	300	200	150	120	$a$

抛掷次数 $n$	20	60	100	120	140	160	500	1000	2000	5000
“正面朝上”的次数 $m$	12	38	58	62	75	88	275	550	1100	2750
“正面朝上”的频率 $\frac{m}{n}$	$0.60$	$0.63$	$\begin{array}{l} 0.58 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.52 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.54 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.55 \end{array}$