相关试卷

1、《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为 $x$ 人，则下面列的方程正确的是（）

A、 $8 x + 3 = 7 x - 4$ B、 $8 x - 3 = 7 x + 4$ C、 $\frac{x - 3}{8} = \frac{x + 4}{7}$ D、 $\frac{x + 3}{8} = \frac{x - 4}{7}$

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2、某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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3、已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线 $A B$ ，画射线 $C A$ ，连接 $B C$ ，正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4、我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（）分米

A、a B、 $a^{2}$ C、 $4 a$ D、 $8 a$

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5、陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、 $2025$ 年 $12$ 月 $21$ 日是我国二十四节气中的冬至，深圳当天的最低气温是 $15 ° C$ ，记作 $+ 15 ° C$ ，北京当天的最低气温是零下 $5 ° C$ ，应记作（）

A、 $- 5 ° C$ B、 $+ 5 ° C$ C、 $- 10 ° C$ D、 $+ 10 ° C$

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7、如图1， $E$ 是等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 所在直线上一点， $D$ 是边 $B C$ 所在直线上一点，且 $D$ 与 $C$ 不重合，若 $E C = E D$ ．则称 $D$ 为点 $C$ 关于等边三角形 $A B C$ 的反称点，点 $E$ 称为反称中心．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，

(1)、已知等边三角形 $A O C$ 的顶点 $C$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $A$ 在第一象限内，反称中心 $E$ 在直线 $A O$ 上，反称点 $D$ 在直线 $O C$ 上．
①如图2，若 $E$ 为边 $A O$ 的中点，在图中作出点 $C$ 关于等边三角形 $A O C$ 的反称点 $D$ ，并直接写出点 $D$ 的坐标：_______；
②若 $A E = 2$ ，求点 $C$ 关于等边三角形 $A O C$ 的反称点 $D$ 的坐标；

(2)、若等边三角形 $A B C$ 的顶点为 $B (n, 0)$ ， $C (n + 2, 0)$ ，反称中心 $E$ 在直线 $A B$ 上，反称点 $D$ 在直线 $B C$ 上，且 $3 < A E \leq 4$ ．请直接写出点 $C$ 关于等边三角形 $A B C$ 的反称点 $D$ 的横坐标 $t$ 的取值范围：．（用含 $n$ 的代数式表示）

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $D$ ，分别连接 $B D$ 、 $A D$ ，点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $E$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，连接 $A F$ 并延长，交 $B C$ 于点 $G$ ．

(1)、根据题意补全图形；

(2)、求证： $∠ E A G = ∠ D A G$ ．

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9、综合与探究
问题情境：
数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $C D$ 于点 $F$ ．
初步分析：
（1）智慧小组的同学发现 $△ C E F$ 是等腰三角形，请你证明这一结论；
（2）博学小组的同学发现给 $△ A B C$ 添加一个条件，可使 $△ C E F$ 成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）；
操作探究：
（3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究．
如图2，将 $△ A C E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 恰好落在 $A B$ 上．连接 $F C^{'}$ ，猜想此时线段 $F C^{'}$ 与 $C E$ 的位置关系，并证明．

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10、如图，点 $A$ 在线段 $B E$ 上， $A B = A C$ ， $A E = A D$ ， $∠ B A C = ∠ E A D$ ， $C$ 、 $D$ 在线段 $B E$ 同侧，分别连接 $B D$ 、 $C E$ 交于点 $M$ ．

(1)、求证： $B D = C E$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 35 °$ ，求 $∠ B M E$ 的度数．

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11、如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ， $C (- 5, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对称点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，当 $∠ A P A_{1} = 90 °$ 时，点 $P$ 的坐标为________．

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12、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是同一条直线上的点， $A B = C D$ ， $A E ∥ D F$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $B E = C F$ ．

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13、如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，求∠BFE的度数．

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14、数学课上，王老师布置如下任务：
如图， $△ A B C$ 中， $B C > A B > A C$ ，在 $B C$ 边上取一点 $P$ ，使 $∠ A P C = 2 ∠ A B C$ ．
小路的作法如下：
①作 $A B$ 边的垂直平分线，交 $B C$ 于点 $P$ ，交 $A B$ 于点 $Q$ ；
②连接 $A P$ ．

(1)、请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；

(2)、完成以下推理，并填写推理依据：
$∵ P Q$ 是 $A B$ 的垂直平分线
$∴ A P =$ ________，
$∴ ∠ A B C =$ ________，（依据：________）．
又 $∵ ∠ A P C = ∠ A B C +$ _______，
$∴ ∠ A P C = 2 ∠ A B C$ ．

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15、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．若 $A D = 12$ ，则 $D E =$ ， $A E : C E =$ ．

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16、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $∠ E A C = 36 °$ ，则 $∠ B A D =$ °．

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17、空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的．

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18、下列图形中，为轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知：如图1，直线 $P Q$ 与直线 $E F, M N$ 分别相交于点 $A, B$ ，且 $E F ∥ M N, ∠ 1 = 60 °$ ，将含 $30 °$ 的直角三角板的直角顶点放置在直线 $M N$ 上的点 $B$ 处，一边 $B C$ 在直线 $M N$ 上，另一边 $B D$ 在直线 $M N$ 的下方．

(1)、观察·思考
直接写出图1中 $∠ 2 =$ __________，线段 $C D$ 与直线 $A B$ 的位置关系是__________；

(2)、操作・思考
将图1中的三角板绕点 $B$ 逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边 $B C$ 恰好平分 $∠ A B N$ ，求证： $B D$ 平分 $∠ N B Q$ ；

(3)、联系 $\cdot$ 拓广
将图1中的三角板按每秒 $10 °$ 的速度绕点 $B$ 逆时针旋转一周，在旋转过程中，第 $t$ 秒时，该三角板的一边 $C D$ 恰好与直线 $E F$ 平行，求此时 $t$ 的值．

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20、阅读理解：
我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解 $\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ 这个方程时，可采用如下方法：
解： $∵ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b$ ，
$∴ (\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x}) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}) = {(\sqrt{12 - x})}^{2} - {(\sqrt{4 - x})}^{2} = (12 - x) - (4 - x) = 8$ ．
又 $∵ \sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ ……①，
$∴ 2 (\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}) = 8$ ，
即 $\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x} = 4$ ……②．
由 $① + ②$ 得： $2 \sqrt{12 - x} = 6$ ，
即 $\sqrt{12 - x} = 3$ ，
在这个方程的两边同时平方得： $12 - x = 9$ ，
解得： $x = 3$ ．
将 $x = 3$ 代入原方程检验，可得 $x = 3$ 是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：

(1)、若 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的“对偶式” $b$ 为_____， $a \times b =$ __________；

(2)、解方程： $\sqrt{x^{2} + 6} + \sqrt{x^{2} + 1} = 5$ ．

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