初中数学苏科版（2024）-试题列表-第288页

1、如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则 BD 的长为

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2、【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷.

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案 1：直角形遮阳篷

如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.

(1)、若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=m.

(2)、小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出

t a n α = \frac{1}{3} ， t a n β = \frac{4}{3} ，

为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.

(3)、方案2：抛物线形遮阳篷

如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.

①求该二次函数的表达式；

②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 $t a n θ = \frac{2}{3} ，$ 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).

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3、【项目式学习】

项目主题：守护生命，“数”说安全.

项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动.创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究.

(1)、任务一：考察测量

如图①，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为 4m，则AB=m.

(2)、任务二：模拟探究

如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过.

创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：

①当CD<2AB时(如图①)，线段CD能通过直角弯道；

②当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E 与点B 重合的情况，线段 CD 恰好不能通过直角弯道(如图②).此时，∠ADC的度数是；

③当CD>2AB时，线段CD不能通过直角弯道.

(3)、如图③，创新小组用矩形 PQMN模拟汽车通过宽均为4m 的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形 PQMN恰好不能通过该弯道.若PQ=a m，PN=2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值.

(4)、任务三：成果迁移

如图④，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x⟩ 0)$ 的图象，其对称轴交图象于点

A.弯道内侧的顶点 B在射线OA 上，两边分别与x轴，y轴平行，( $O A = 2 m ， A B = 4 \sqrt{2} m .$ 创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似.有一辆长为 bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为.(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7 ， \sqrt{5} \approx 2.2 ， \sqrt{7} \approx 2.6)$

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4、【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置(如图).

流水时间 t/ min

0

10

20

30

40

水面高度 h/cm

(观察值)

30

29

28.1

27

25.8

(1)、【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

任务1：分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量.

(2)、【建立模型】小组讨论发现：‘“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.

任务2：利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式.

(3)、【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；ω越小，偏差越小.

任务3：

①计算任务2得到的函数表达式的w值；

②请确定图象经过点(0，30)的一次函数表达式，使得w的值最小.

(4)、【设计刻度】得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.

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5、视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.

素材1 国际通用的视力表以5m 为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b(mm)，在平面直角坐标系中描点，如图 R8-1①.

⑴探究1 检测距离为5m 时，归纳n与b 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.

素材2 图②为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ.视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足 $n = \frac{1}{θ} (0.5 θ 10) .$

⑵探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围.

素材3 如图③，当θ确定时，在A处用边长为b₁的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b₂的Ⅱ号“E”测得的视力相同.

⑶探究3 若检测距离为3m，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.

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6、如图①是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线.图②是遮阳篷支架完全展开时的示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中，四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB=90°.

(1)、若遮阳篷完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有米(影子完全落在地面上)；

(2)、求长支杆与短支杆的长度比(即CE 与AD 的长度比).

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7、马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白、彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知⊙O和圆上一点 M.作法如下：

①以点 M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；

②延长MO交⊙O于点C；

即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.

(1)、请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)、根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC.若⊙O的半径为 2 cm，则△ABC的周长为cm.

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8、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗.如图，已有的遮阳棚AB=130 cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度 BC=40 cm，遮阳棚的固定高度AD=240cm，sin∠BAD=

\frac{12}{13}

(1)、求遮阳棚上的点 B到墙面AD 的距离；

(2)、冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°(光线 EC与地面的夹角)，请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行.(参考数据：

s i n 5 3^{\circ} \approx 0.8 ， c o s 5 3^{\circ} \approx 0.6 ，

t a n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{3})

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9、如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB 和 CD 的长度相等，O是它们的中点，AB=60 cm，AD=41 cm，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③(假设AE与 DE都是线段)，且AE=DE，点 E离地面BC的距离即马扎实际支撑的高度.若某人坐在马扎上时测得∠AOD=83.6°，他要求实际支撑高度为40 cm，则这款马扎能否符合他的要求?

(参考数据： $s i n 41 . 8^{\circ} \approx \frac{2}{3} ， c o s 41 . 8^{\circ} \approx \frac{3}{4})$

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10、如图①是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图②，它是由八片相同的瓦片组成的，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图③，A，B，C，D表示瓦片的交接点.

(1)、判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

(2)、若AB=20cm，求图③中阴影部分的面积(结果保留π).

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11、如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为 10 cm，传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转 140°时，传送带上点 A处的粮袋上升的高度是多少?(传送带厚度忽略不计)

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12、如图，ED为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米(即CE=3米)，因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点 P 作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆(直径MN=1米)，绳子QM=QN=1.3米，钢架高度2.2米(AB=2.2米)，距离防洪堤边缘为0.5米(BC=0.5米).

(1)、西岸边缘点 C 与东岸边缘点 D 之间的距离为米；

(2)、滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则DP 的长度应大于米.

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13、如图①为《天工开物》记载的用于春(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图.已知AB⊥CD 于点 B，AB 与水平线 l相交于点O，OE⊥l. 若 BC= 4 dm，OB = 12 dm，∠BOE=60°，则点 C 到水平线 l 的距离 CF为dm(结果用含根号的式子表示).