相关试卷

1、【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ，以上这种化简叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 $a + b = 2$ ， $a b = - 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ ．我们可以把 $a + b$ 和 $a b$ 看成是一个整体，令 $x = a + b$ ， $y = a b$ ，则 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = x^{2} - 2 y = 4 + 6 = 10$ ．这样，我们不用求出 $a, b$ ，就可以得到最后的结果．
【解决问题】

(1)、仿照上面的解题过程，化简： $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} =$ ______．

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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2、生活与应用

课题	小区遛狗捡球问题
生活情景	傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为 $A B = 1.7$ 米，小狗的高 $C D = 0.2$ 米，小狗与子涵的距离 $A C = 2$ 米．（绳子一直是直的）
情景示意图
问题1	（1）此时，牵狗绳 $B D$ 的长为______米；
问题2	（2）子涵将手上的小球扔至3米远的 $M$ 处（ $A M = 3$ 米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来）

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3、如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点 $A, B, C$ ， $D$ 均在格点上．

(1)、 $A C =$ ， $C D =$ ， $A D =$ ；

(2)、判断 $△ A C D$ 的形状，并说明理由；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、求下列各式中 $x$ 的值．

(1)、 $4 x^{2} - 16 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 1)}^{3} = - 125$ ．

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 4$ ；

(3)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ；

(4)、 ${(- 2)}^{2} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$ ．

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6、已知 $y = \sqrt{x - 2} - \sqrt{2 - x} + 3$ ，则 $x^{y} =$ ．

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7、老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）．

A、小明和小丽 B、小丽和小红 C、小红和小亮 D、小丽和小亮

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8、如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）

A、10 B、12 C、14 D、20

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9、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE

(1)、若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。

(2)、若∠A=∠E，求证：BC=DE.

(3)、如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE = $\sqrt{10}$ ，求线段 CE 的长.

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10、如图

(1)、如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，求证：BD=CE.

(2)、如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，连接CE，求∠DCE 的度数.

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11、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于 F，且 BC=DC.

(1)、证明：BE=DF；

(2)、若CD // AB，FD=3，AD=5，求∆△AFC 的面积.

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12、已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

(1)、根据下面说理步骤填空：
证明：作AM⊥BC，垂足为点M.
∵AB=AC（已知） AM⊥BC
∴ ▲ = ▲ （等腰三角形三线合一）
同理可证： ▲ = ▲
∴BM-DM=CM-EM
即 BD=CE

(2)、若∠B=50°，∠EAC=15°，求证：AB=BE.

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13、在一次“交通安全”知识竞赛中，共有20道题，对于每道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，总得分不低于80分者可得奖，若要得奖至少应答对几题？

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14、如图，AB=DC，AC=DB，AC 和 BD 相交于点O.

(1)、求证：△ABC≌△DCB；

(2)、求证：OB=OC.

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15、解一元一次不等式

(1)、x-3>1-3x

(2)、3x-5<2（2+3x）

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16、作图题：

(1)、如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁（要求：A与A₁ ， B与B₁ ， C与C₁相对应）

(2)、如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形.

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17、如图，已知∠AOB=30°，点M，N在边OA上，OM=x，MN=1，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有1个，则x满足的条件是.

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18、如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，DE⊥BC于点E，CE=6，则线段BE的长为.

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19、等腰三角形一边长是9cm，另一边长是4cm，则第三边的长是.

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20、如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1=.

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