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1、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 以速度 $1 cm/s$ 从 $A$ 点出发沿 $A B$ 匀速运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，速度为 $2 cm/s$ ，依次沿 $B C$ ， $C D$ 两边匀速运动，点 $P$ 运动到点 $B$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动．连接 $P Q$ ，设点 $P$ 运动的时间为 $t s$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ， $S$ 关于 $t$ 的部分函数图象如图2所示，其中 $E$ 是曲线 $O E F$ 的最高点， $F G$ 为线段．则点 $E$ 的纵坐标是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{165}{16}$ C、 $\frac{169}{16}$ D、11

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2、如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = 3$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A E = E C$ ．若将纸片沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $A C$ 上，则矩形 $A B C D$ 的面积是（）

A、12 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、15

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A B = 3, B C = \sqrt{7}$ ，那么 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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4、已知反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上有两点 $A (1, m)$ ， $B (2, n)$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系是（）

A、m>n B、m<n C、m=n D、不能确定

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5、有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、8cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、（1）【探究发现】如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $D E$ ， $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $A D$ ， $B E$ 与 $D E$ 之间满足的数量关系是________；
（2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $A B + B P = B C$ ．请探究 $A P$ 与 $P D$ 的位置关系，并说明理由；
（3）【生活应用】校园广场的景观规划：
如图3，校园广场有一块空地为四边形 $A C B D$ ，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ ，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知 $∠ A C B = 90 °$ ，且 $A C = B C$ ，他们在 $B C$ 上取一点 $E$ ，当测量到 $A E = D E$ 时，恰好 $∠ A E D = 90 °$ ．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断 $△ A B D$ 是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由．

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9、边长为 $a$ 的正方形剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
C． $a^{2} + a b = a (a + b)$ D． $a^{2} - a b = a (a - b)$

(2)、若 $x^{2} - y^{2} = 12$ ， $x + y = 4$ ，求 $x - y$ 的值；

(3)、计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2024^{2}}) (1 - \frac{1}{2025^{2}})$ ．

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10、小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快 $20 %$ ，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快 $25 %$ ，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．

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11、综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有 $A$ ， $B$ 两点，现需要测量该池塘的两端 $A$ ， $B$ 之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达 $A$ ， $B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C$ ， $B C$ ，并分别延长 $A C$ 至点 $D$ ， $B C$ 至点 $E$ ，使 $D C = A C$ ， $E C = B C$ ，最后量出 $D E$ 的距离就是 $A B$ 的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．

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12、先化简再求值： $(\frac{1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中a=-2．

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13、计算： ${(- 1)}^{0} + (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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14、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为．

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，以点A为圆心， $A C$ 长为半径作弧，交直线 $A B$ 于点D，连接 $D C$ ，则 $∠ D C B$ 的度数是（　　）

A、 $37 °$ B、 $36 °$ C、 $30 °$ D、 $26 °$

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16、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} = 1$ C、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$

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17、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{0.5}$

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18、下列命题是假命题的是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、若 $a + b > 0$ ，则 $a > 0$ ， $b > 0$ C、对顶角相等 D、完全重合的两个图形全等

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19、【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
（ $1$ ）如图①，点 $P$ 在 $∠ M A N$ 的角平分线上，过点 $P$ 作 $A Q$ 的垂线分别交 $A M 、 A N$ 于点 $B 、 C$ ．求证： $A B = A C$ ．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（ $2$ ）将图①沿着过点 $B$ 的直线 $l$ 折叠，得到图②，使点 $C$ 正好与边 $A M$ 上的点 $D$ 重合，此时测得 $∠ A C D = 90 °$ ．求 $∠ D A C$ 的度数．
【拓展提升】
（ $3$ ）如图③， $△ A B C$ 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 50$ 米， $B C = 120$ 米， $A B = 130$ 米．该绿化带中修建了健身步道 $O A 、 O B 、 O M 、 O N 、 M N$ ，其中入口 $M 、 N$ 分别在 $A C 、 B C$ 上，步道 $O A 、 O B$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $O M ⊥ O A$ ， $O N ⊥ O B$ ．现要用围栏完全封闭 $△ C M N$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）

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20、数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【提出问题】
问题 $1$ 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河岸 $l$ 上的点 $C$ 饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 与 $l$ 交于点 $C$ ，点 $C$ 就是饮马的地方，此时按路线 $A C - C B$ 走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：在 $l$ 上另取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ，只要证明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B$ 即可．
问题 $2$ 如图②，要在河岸 $l$ 上建一座水泵房 $Q$ ，修建引水渠 $P Q$ ；使得 $Q$ 到村庄 $P$ 的距离最短．施工人员的做法是：过点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q$ ，将水泵房建在 $Q$ 处，这样修建引水渠 $P Q$ 最短，既省人力又省物力．
（ $1$ ）请在图①中标出河岸 $l$ 中点 $C$ 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（ $2$ ）问题 $2$ 中所隐含的数学原理是_______．
【感悟方法，尝试应用】
（ $3$ ）如图③，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．
①直接写出 $B D$ 与 $A B$ 的数量关系________．
②若 $A D = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边的中点，点 $F$ 为 $A D$ 上一点，当 $B F + E F$ 的值最小时，在如图③上标注点 $F$ 的位置，并求出 $B F + E F$ 的最小值．
【迁移拓展，综合应用】
（ $4$ ）如图④，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在斜边 $B C$ 上，且 $B C = 4 C D = 4$ ， $A E$ 是 $△ B A C$ 的角平分线，点 $F$ 、点 $G$ 分别为 $A C 、 A E$ 上一点，求 $D G + F G$ 的最小值．

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