相关试卷

1、问题情境：如题1图，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如题2图，AB=8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=16米.玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种不同花色的月季.
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定DE与CF的长.为此，如题22-3图建立平面直角坐标系.解决问题：

(1)、求抛物线的函数表达式.

(2)、当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长.

(3)、种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.求符合设计要求的矩形周长的最大值.

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2、解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法.
例题呈现
关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = 1, x_{2} = - 2$ （a、m、b均为常数，a≠0），则方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 的解是?

(1)、解法探讨
小明的思路如下所示：
小明的思路
第1步把1、-2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步把m的值代入到第1个方程中求出 $- \frac{b}{a};$
第3步用直接开平方法解第2个方程.

(2)、小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是，从而更简单地解决了问题.

(3)、小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是.

(4)、策略运用
小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答.
已知方程 $(a^{2} - 2 b^{2}) x^{2} + (2 b^{2} - 2 c^{2}) x + 2 c^{2} - a^{2} = 0$ 有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状.

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3、某商家销售一种糕点，每盒进价为40元.在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价x（元）
…
60
65
70
…
周销量y（盒）
…
240
210
180
…

(1)、当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大?最大利润为多少元?

(2)、若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润.

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4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（-1，6），B（m，-2）.

(1)、求反比例函数、一次函数的表达式.

(2)、求△OAB的面积.

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5、如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.

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6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-3，0），C（-1，0），把 $△ A B C$ 绕点C按顺时针方向旋转90°后得到 $△ A_{1} B_{1} C .$ （每个方格的边长均为1个单位）

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C .$

(2)、并直接写出：A₁的坐标为， B₁的坐标为.

(3)、判断直线AB与直线 $A_{1} B_{1}$ 的位置关系为.

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7、计算：

(1)、解方程： $x^{2} + 2 x - 8 = 0 .$

(2)、请直接写出函数 $y = x^{2} + 2 x - 8$ 的图像与x轴交点坐标.

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8、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），将线段OA绕点O逆时针旋转 $4 5^{\circ},$ 则点A对应点的坐标为.

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9、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， $∠ B C D = 12 0^{\circ},$ ⊙O的半径为6，则BD的长为.

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10、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有字母H和1.从三个口袋中各随机取出1个小球，则取出的3个小球恰有一个元音字母的概率是.

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11、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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12、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ）的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；④a-b+c>0；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2},$ 且 $x_{1} \neq x_{2},$ 则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ；其中正确的有（）

A、①②③④ B、②③④ C、②③④⑤ D、①②③④⑤

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13、已知关于x的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如表：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
$a x^{2} + b x + c$
-0.69
-0.36
-0.01
0.36
0.75
据此可估计关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根的取值范围为（）

A、3.1<x<3.2 B、3.3<x<3.4 C、3.2<x<3.3 D、3.4<x<3.5

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14、如图，在直径BC为 $2 \sqrt{2}$ 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，则该粒米不落在扇形内的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m² ，所列方程正确的是（）

A、x（26-2x）=80 B、x（24-2x）=80 C、（x-1）（26-2x）=80 D、（x-1）（25-2x）=80

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16、把抛物线 $y = 3 x^{2}$ 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 5$ B、 $y = 3 {(x + 5)}^{2} + 2$ C、 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 5$ D、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} + 5$

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17、如题1图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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18、综合与探究
【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究．
【特例感知】
探究直线l₁： $y = \frac{1}{2} x + 1$ 关于x轴成轴对称的直线l₂的关系式的过程如下：
步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线l₁： $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的图象；
步骤2：求出 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，1）；
步骤3：点B（0，1）关于x轴对称的点C的坐标是        ▲        ；
步骤4：画出直线AC ，并由A、C两点坐标可求得l₂的关系式为        ▲         ．
归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“        ▲        的对称问题”．

(1)、补全上述探究过程中的空格；

(2)、直线l₁： $y = \frac{1}{2} x + 1$ 关于y轴成轴对称的直线的关系式是；

(3)、【类比迁移】
如图2，已知直线AB： $y = - \frac{4}{3} x + 8$ 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ．若直线AB关于直线l₃的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴l₃的解析式．

(4)、【拓展提升】
结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题：
①直线 $y = k x (k \neq 0)$ 关于直线y=x成轴对称的直线解析式是；
②直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 关于直线y=x+1成轴对称的直线解析式是．

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19、综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．

(1)、【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17 m；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8 m．
根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为m．

(2)、【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1 m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5 m．
结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．

(3)、【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5 m；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4 m至点D ，发现此时绳子另一端上升2 m至点E ．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．

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20、“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A ， B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．”
小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．”
小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：

(1)、分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；

(2)、已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用．

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销售单价x（元）	…	60	65	70	…
周销量y（盒）	…	240	210	180	…

x	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5
$a x^{2} + b x + c$	-0.69	-0.36	-0.01	0.36	0.75