相关试卷

1、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ， $A B = 10$ ， O为线段 $A B$ 上的动点，圆O的半径为 $O B$ ，与射线 $B C$ 交于点M，圆A的半径为 $O B$ ，与射线 $A C$ 交于点N．

(1)、如图1，当 $O B = \frac{10}{3}$ 时，判断圆O与圆A的位置关系；

(2)、如图2，当圆O与圆A存在公共弦 $P Q$ 时， $P Q$ 与 $A B$ 交于点H．
①设 $O B = x$ ， $P Q = y$ ，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
②若 $\cos ∠ P O H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求两圆重合部分的周长l．
③设圆A与边 $A B$ 交于点F，连接 $O M$ ， $M F$ ，当 $△ O M F$ 是以 $O M$ 为腰的等腰三角形时，求圆O的半径．

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2、我们约定：若点A为 $(a, b)$ ，点B为 $(a, a + b)$ ，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线 $C_{1}$ 上，点B始终在抛物线 $C_{2}$ 上，那么我们称抛物线 $C_{2}$ 是抛物线 $C_{1}$ 的“X抛物线”．

(1)、点 $A (- 2, 3)$ 的“L点”是______；抛物线l： $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的“X抛物线”是______；

(2)、已知抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 经过点 $M (1, - 3)$ ，若点 $p (p, q_{1})$ 与点 $Q (p + 1, q_{2})$ 在其“X抛物线”上，且 $q_{1} \geq q_{2}$ ，求p的取值范围．

(3)、已知点 $A (x, y)$ 在抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} + b x + c$ 图像上，点A的“L点”为点 $B (- 1, 1)$ ．若该抛物线 $C_{1}$ 的顶点为 $(r, s)$ ，该抛物线的“X抛物线” $C_{2}$ 的顶点为 $(m, n)$ ．
①当 $0 \leq c \leq 5$ 时，求n的取值范围；
②当c取不同的值时， $C_{1}$ 所有顶点 $(r, s)$ 组成新的抛物线 $C_{3}$ ，记 $C_{1}$ 的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线 $C_{2}$ 所有顶点 $(m, n)$ 组成新的抛物线 $C_{4}$ ，记 $C_{4}$ 的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段 $(t \cdot H F)$ ， $G K ， R T$ 构成直角三角形时，求t的值

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3、如图， $△ A B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，分别以点 $B$ 、 $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径在 $B D$ 两侧作圆弧，交于点 $E$ ，点 $F$ ．作直线 $E F$ ，分别交于 $A B$ ， $B C$ 点 $G$ ， $H$ ，连结 $D G$ ， $D H$ ．

(1)、请判断四边形 $B G D H$ 的形状，并说明理由；

(2)、设 $△ A D G$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B C D G$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{C H}{H D} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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4、端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $B E ⊥ A C$ ，垂足为E， $A D$ 与 $B E$ 相交于点F， $B F = A C$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ B D F$ ；

(2)、若 $D F = 2$ ， $A F = 3$ ，求 $B C$ 的长

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6、游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东 $60 °$ 方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西 $30 °$ 方向上，且O与B之间距离6千米，

(1)、由题意知： $∠ A O C =$ 度， $∠ A B D =$ 度；

(2)、求灯塔A到航线 $O B$ 的距离（答案保留根号）．

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7、一个扇形的弧长是 $\frac{6}{5} π$ $cm$ ，半径是 $6 cm$ ，则此扇形的圆心角是度．

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8、某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点 $1400 m$ 和 $900 m$ 的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前 $7 min$ 到达活动地点．若设乙同学的速度是 $x m/min$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1400}{1.1 x} - \frac{900}{x} = 7$ B、 $\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1 x} = 7$ C、 $\frac{900}{1.1 x} - \frac{1400}{x} = 7$ D、 $\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1 x} = 7$

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9、下列运算正确的是（）

A、 $a + 2 a = 3 a^{2}$ B、 ${(x y^{2})}^{4} = x y^{8}$ C、 $3 (x + 8) = 3 x + 8$ D、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{7}$

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10、已知抛物线 $y = a x^{2} - 5 a x + b (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $D (- 1, - \frac{7}{2})$ ．与抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点，且 $∠ D A B = 90 °$ ， $tan ∠ D B A = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、求 $a$ ， $b$ ， $k$ 的值；

(3)、点 $P$ 是 $B C$ 下方抛物线上一点，过 $P$ 作 $P F ∥ x$ 轴交抛物线于点 $F$ ， $P E ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，求 $P F + \frac{\sqrt{5}}{2} P E$ 的最大值．

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11、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 在平面内按顺时针方向旋转 $90 °$ 至 $E F$ 位置，连接 $A F$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C O$ ；

(2)、过点 $E$ 作 $E P ⊥ A F$ 于点 $P$ ，其延长线交 $A D$ 于点 $Q$ ．
①连接 $D P$ ，求证： $D P$ 平分 $∠ A D C$ ；
②当 $\frac{C G}{D G} = n$ 时，求 $\frac{P Q}{P E}$ 的值．

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12、如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现 $L_{2}$ 的长度 $y cm$ 和重物 $B$ 的质量 $x N$ 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
$x / N$
…
10
16
20
25
40
50
…
$y / cm$
…
8
5
4
3.2
2
1.6
…

(1)、在图1中描出表中数据对应的点 $(x, y)$ ；

(2)、根据表中数据，从 $y = a x + b (a \neq 0)$ 和 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物 $B$ 的质量为 $x N$ 和 $L_{2}$ 的长度为 $y cm$ 的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，若点 $A$ 的坐标为 $(20, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，在（2）中所求函数的图象上存在点 $C$ ，使得 $S_{△ A B C} = 40$ ，请求出所有满足条件的点 $C$ 的坐标．

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13、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O 、 A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $A D$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规，过点 $D$ 作直线 $l$ 垂直于直线 $A C$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若（1）中所作的直线 $l$ 与直线 $A C$ 交于点 $E$ ．与 $A B$ 的延长线交于点 $F$ ．
①判断直线 $E F$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；
②若 $D F = D A ， A C = 2$ ，求 $A O$ 的长．

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14、在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【小组1】查阅学校资料得知小树前的教学楼 $E D$ 高度为24米，如图1，某一时刻测得小树 $A B$ 、教学楼 $E D$ 在同一时刻阳光下的投影长分别是 $B C = 2.5$ 米， $D F = 15$ 米．
【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度 $h = 1.6$ 米，在 $D$ 处测得小树顶部的仰角 $α = 37 °$ ，测角仪到树的水平距离 $m = 3.2$ 米．

(1)、请根据小组1的数据求小树 $A B$ 的高度；

(2)、请根据小组2的数据求小树 $A B$ 的高度（结果保留整数， $sin 37 ° \approx 0.6$ ， $tan 37 ° \approx 0.75$ ）．

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15、已知 $H = (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{2 a b} (a \neq b \neq 0)$ ．

(1)、化简 $H$ ；

(2)、若数轴上点 $A$ 、 $B$ 表示的数分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $A B = 4$ ，求 $H$ 的值．

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16、如图， $A B ∥ D E ， ∠ B F A = ∠ E C D ， A F = D C$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形．

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17、如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线， $△ A D C$ 关于 $A D$ 的轴对称图形为 $△ A D E$ ，且 $\sin ∠ B A C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．以下结论正确的是．
$① △ C D E$ 为等腰直角三角形； $② △ A B C ≌ △ A D E$ ； $③ △ A B D ∽ △ A C E$ ；④ $S_{△ A B D} : S_{△ A C E} = 5 : 16$ ；⑤ $\sin ∠ D C E = \frac{4}{5}$ ．

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18、已知 $a$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $a^{2} + 2 a + 2024$ 的值为___________．

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19、我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像 $A B$ 分为上下两部分，其中 $C$ 为 $A B$ 的黄金分割点 $|\frac{B C}{A B} \approx 0.618|$ ，已知 $A B$ 长为2米，则 $A C$ 的长是米．

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20、分式方程 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$ 的解为___________．

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$x / N$	…	10	16	20	25	40	50	…
$y / cm$	…	8	5	4	3.2	2	1.6	…