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1、第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式 $a m + a n + b m + b n$ 因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出 $a$ ，把它的后两项分成组，并提出 $b$ ，从而得 $a m + a n + b m + b n = a (m + n) + b (m + n)$ ，这时，由于 $a (m + n) + b (m + n)$ 中又有公因式 $(m + n)$ ，于是可提公因式 $(m + n)$ ，从而得到 $(m + n) (a + b)$ ，因此有 $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n) = a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ，这种因式分解的方法叫做分组分解法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1） $a b - a c + b^{2} - b c = (a b - a c) + (b^{2} - b c) = a (b - c) + b (b - c) =$ ____________．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
① $m^{2} + 5 n - m n - 5 m =$ _____________．
② $x^{2} - 2 x + 1 - y^{2} =$ _____________．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 b (a + c)$ ，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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2、完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ， $2 a b = 2$ ，
$∴ a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y$ 的值为_____________；

(2)、若 $2 a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，求 ${(2 a - b)}^{2}$ 的值；

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3、如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形．

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4、先化简，再求值： $(\frac{2 a}{a + 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 2}$ ，其中 $a = 1$ ．

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5、解分式方程： $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^{2} - 1}$ ．

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6、计算： ${(2 x + 1)}^{2} - (2 x + 1) (2 x - 1)$ ．

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7、已知 $(x + 4) (x - 9) = x^{2} + m x - 36$ ，则 $m$ 的值为．

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8、因式分解： $x^{2} - 12 x =$ ．

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9、已知关于x的方程 $\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{- 3 k}{1 - x}$ 解为正数，则k的取值范围是（）

A、 $k \neq 1$ B、 $k \neq \frac{1}{3}$ C、 $k > \frac{2}{3}$ 且 $k \neq 1$ D、 $k < \frac{2}{3}$ 且 $k \neq \frac{1}{3}$

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10、若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \neq 2$

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11、中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、【阅读材料】我们把二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 恒等变形为 $a {(x + h)}^{2} + k$ （h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．
例如，分解因式： $x^{2} + 4 x - 5$ ．
解： $x^{2} + 4 x - 5 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 - 5 = {(x + 2)}^{2} - 3^{2}$
$= (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$
【实践应用】请用配方法解答下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$ ．

(2)、求多项式 $x^{2} - 4 x + 5$ 的最小值．

(3)、已知a、b、c是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} - 6 a + b^{2} - 6 b + c^{2} - 6 c + 27 = 0$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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13、题目如下：“学校师生去距学校 $45 km$ 的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行 $2 h$ 后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”．

(1)、阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．
解：设张老师骑车的速度为 $x km / h$ ，依题意，得 $\frac{45}{x} - 2 = \frac{45}{3 x}$

(2)、请写出完整的解题过程．

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14、先化简，再求值： $(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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15、如图所示，网格图中的每个小格均为边长是1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点C的坐标为 $(5, 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $C_{1}$ 的坐标．（保留作图痕迹，不写画法，以下同）

(2)、在第三象限的格点上确定一点M，使 $△ B C_{1} M$ 是以 $B C_{1}$ 为底的等腰直角三角形，画出 $△ B C_{1} M$ ，并写出点M的坐标．

(3)、在x轴上画出点P，使得 $P A + P C$ 的值最小．

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16、解分式方程： $\frac{2}{x - 3} + 1 = \frac{2}{3 - x}$ ．

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17、计算或化简：

(1)、 ${(- 1)}^{2026} + {(- \frac{1}{4})}^{- 1} - {(π - 3.142)}^{0}$

(2)、 ${(x + 2 y)}^{2} + (x + y) (x - y) - 3 y^{2}$

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18、把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个五边形进行三角剖分，能剖分出个三角形，有种方法．

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19、如图，已知 $△ A B C$ 的外角 $∠ 1 = 122 °$ ，若 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $∠ A$ 的度数为．

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20、在式子：① $\frac{1}{x}$ ， ② $\frac{1}{2}$ ， ③ $\frac{x^{2} + 1}{6}$ ， ④ $\frac{2}{x + y}$ 中，属于分式的是．（填写序号）

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