相关试卷

1、在平面直角坐标系中，过点 $T (0, t)$ 作 $y$ 轴的垂线与二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （ $h$ 、 $k$ 为常数）的图像交于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 在点 $F$ 的左侧），点 $P$ 在直线 $E F$ 上，当点 $P$ 满足 $P E + P F = 6$ 时，我们称点 $P$ 是该二次函数图象的 $T \sim 6$ 生长点．

(1)、二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图像如图所示．
①在 $t$ 的不同取值2、 $\frac{9}{2}$ 、5中，使该函数图象有 $T \sim 6$ 生长点的 $t$ 的值是；
②已知 $P (m, n)$ 是该函数图象的 $T \sim 6$ 生长点，猜想 $n$ 的取值范围，并说明理由．

(2)、二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）的图像经过点（6，1），若 $P (3, 5)$ 是该函数图象的 $T \sim 6$ 生长点，求该函数的表达式．

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2、为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中 $A 、 B$ 处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．

(1)、已知主动轮、从动轮的齿数分别为 $n_{1}$ 、 $n_{2}$ ，主动轮每分钟转 $ω_{1}$ 圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转 $ω_{2}$ 圈，则每分钟啮合的齿数有个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出 $ω_{1}$ 与 $ω_{2}$ 的关系是 $\frac{ω_{1}}{ω_{2}} =$ ．

(2)、如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是（写出一种即可）．

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3、如图（1），过 $⊙ O$ 外一点 $M$ 引 $⊙ O$ 的两条切线 $M A$ 、 $M B$ ，切点是 $A$ 、 $B$ ， $∠ A M B$ 为锐角，连接 $M O$ 并延长与 $⊙ O$ 交于点 $N$ ，点 $P$ 在 $M N$ 的延长线上，过点 $P$ 作 $M A$ 的垂线，与 $B O$ 的延长线相交于点 $E$ 、垂足为 $F$ ．

(1)、求证： $△ E O P$ 是等腰三角形；

(2)、在图（2）中作 $△ E O P$ ，满足 $O P = O F$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、已知 $s i n ∠ A M B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，在你所作的 $△ E O P$ 中，若 $P F = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系中，点 $A 、 B$ 分别在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上，点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ ，点 $B$ 的横坐标为 $n (n > 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(3, 0)$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2 B C$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 的坐标和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的表达式；

(2)、点 $D$ 、 $E$ 分别在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 和 $y = - \frac{2}{x}$ 的图像上，与点 $A$ 、 $B$ 构成以 $A B$ 为边的平行四边形，则点 $D$ 、 $E$ 的坐标分别为、．

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5、新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
$x$ （年份）
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
$y /$ 万个
43.2
45.3
53.0
69.6
79.8
92.1
104.5

(1)、计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；

(2)、小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点 $A (2019, 45.3)$ 、 $B (2024, 104.5)$ 作一条直线来近似地表示 $y$ 的值随年份 $x$ 不断增长的变化趋势．设直线 $A B$ 上点的坐标满足函数表达式 $y = k x + b$ ．试求出 $k$ 的值，并写出 $k$ 的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．

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6、小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈 $= 10$ 尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点 $P$ 处，墙脚 $O$ 离竹根 $A$ 处3尺远．请你解答：折断处 $B$ 离地面多高？

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7、一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．

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8、如图，已知 $△ A B C ≅ △ D E F$ ，边 $B C$ 与 $E F 、 D F$ 分别交于点 $O 、 M, A C$ 与 $E F$ 交于点 $N, O B = O E$ ．求证： $△ M O F ≅ △ N O C$ ．

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9、解方程： $\frac{3 - x}{4 + x} = \frac{1}{2}$ ．

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10、计算： $2 c o s 6 0^{∘} - {(1 - \sqrt{5})}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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11、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A C = B C = 8$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $M$ 是边 $A C$ 上的动点，作 $D N ⊥ D M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，延长 $M D$ 到点 $P$ ，使得 $D P = \frac{1}{2} M D$ ．当 $△ P N B$ 面积最大时， $A M$ 的长等于．

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12、用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知 $x + 2 y$ 的值等于．

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13、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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14、如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是．

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15、如果汽车加油30升记作+30升，那么用去油10升，记作．

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16、如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $B A = B C$ ，第1次操作：取 $A C$ 的中点 $O_{1}$ ，将 $O_{1} B$ 绕点 $O_{1}$ 分别逆时针旋转 $12 0^{∘}$ 和 $18 0^{∘}$ ，得到线段 $O_{1} C_{1}$ 和 $O_{1} A_{1}$ ；第2次操作：取 $A_{1} C_{1}$ 的中点 $O_{2}$ ，将 $O_{2} O_{1}$ 绕点 $O_{2}$ 分别逆时针旋转 $12 0^{∘}$ 和 $18 0^{∘}$ ，得到线段 $O_{2} C_{2}$ 和 $O_{2} A_{2}$ ；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段 $O_{30} C_{30}$ 和 $O_{30} A_{30}$ ，若用点 $C$ 在点 $A$ 的正南方向表示初始位置，则点 $C_{30}$ 在点 $A_{30}$ 的（）．

A、正东方向 B、正南方向 C、正西方向 D、正北方向

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17、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，直线 $m$ 分别交 $l_{1} 、 l_{2}$ 于点 $A 、 B$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，分别交 $l_{2} 、 l_{1}$ 于直线 $m$ 同侧的点 $C 、 D$ ， $∠ A D B = 3 5^{∘}$ ， $A B = 9$ ，则 $\overset{⌢}{C D}$ 的长等于（）．

A、 $5 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{7}{2} π$ D、 $\frac{7}{4} π$

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18、已知点 $A (- 1, y_{1})$ 、 $B (a, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像上，若 $y_{2} > y_{1}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $a < - 1$ 或 $a > 0$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $a > 0$ D、 $a < - 1$

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19、如图，小丽从点 $A$ 出发，沿坡度为 $1 0^{∘}$ 的坡道向上走了120米到达点 $B$ ，则她沿垂直方向升高了（）．

A、 $\frac{120}{t a n 1 0^{∘}}$ 米 B、 $\frac{120}{s i n 1 0^{∘}}$ 米 C、 $120 t a n 1 0^{∘}$ 米 D、 $120 s i n 1 0^{∘}$ 米

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20、一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（）．

A、82 B、84 C、85 D、87

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$x$ （年份）	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024
$y /$ 万个	43.2	45.3	53.0	69.6	79.8	92.1	104.5