相关试卷

1、几何模型
条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点 P，使PA+PB 的值最小.
方法：作点 A 关于直线l 的对称点A'，连接A'B交l 于点 P，则PA+PB=A'B 的值最小(不必证明).

(1)、模型应用
如图②，正方形 ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC上一动点，连接BP，则 PB+PE 的最小值是.

(2)、如图③，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点. PO=10，Q，R 分别是OA，OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.

(3)、模型拓展
如图④，某人从 A 地到河边l饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地 B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短?

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2、如图，边长为6 的等边三角形 ABC 中，D 在BC 上，E为对称轴AD 上的一个动点，连接EC，作等边三角形ECF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值为( ).

A、6 B、3 C、2 D、1.5

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3、如图，在等边三角形ABC 中，AB=4，P 是 BC 边上的动点，点 P 关于直线AB，AC 的对称点分别为点M，N，则线段 MN 长的取值范围为.

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4、某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20 min，恢复生产后工作效率比原来提高了 $\frac{1}{3}$ ，结果完成任务时比原计划提前了40 min.则软件升级后每小时生产多少个零件?

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5、观察下列方程及其解的特征：
$(1) x + \frac{1}{x} = 2$ 的解为 $x_{1} = x_{2} = 1 .$
$(2) x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = \frac{1}{2} .$
$(3) x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = \frac{1}{3} .$
……
解答下列问题：

(1)、请猜想：方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$ 的解为.

(2)、请猜想：关于x的方程 $x + \frac{1}{x} =$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = \frac{1}{a} (a \neq 0) .$

(3)、下面以解方程 $x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$ 为例，验证(1)中猜想结论的正确性.

(4)、解分式方程 $x + \frac{1}{4 x - 6} = \frac{a^{2} + 3 a + 1}{2 a} .$

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6、关于x的方程 $x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}$ 的两个解是 $x_{1} = c ， x_{2} = \frac{2}{c}$ ，则关于x的方程 $x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$ 的两个解是( ).

A、a， $\frac{2}{4}$ B、 $a - 1$ ， $\frac{2}{a - 1}$ C、 $a$ ， $\frac{2}{a - 1}$ D、 $a$ ， $\frac{a + 1}{a - 1}$

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7、已知关于 x 的分式方程 $\frac{5}{x} = \frac{a}{x - 2}$ 有解，则a 的取值范围是( ).

A、a=5或a=0 B、a≠0 C、a≠5 D、a≠5且a≠0

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8、若关于x的分式方程 $\frac{2 x + a}{x - 2} = - 1$ 的解是正数，则a的取值范围是.

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9、

(1)、若关于x的分式方程 $\frac{x - a}{x - 1} - \frac{3}{x} = 1$ 无解，则a=.

(2)、解分式方程 $\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{1 - x} = \frac{m}{x^{2} - 1}$ 会产生增根，则m=.

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10、若关于x 的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - 4 = \frac{- 2 x + a}{x + 1}$ 的解为整数，则整数a的值为.

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11、某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，小红和王兵二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时，步行匀速登梯，小红登了55级后到达楼上，王兵登梯速度是小红的2倍，王兵登了60级后到达楼上，问：由楼下到楼上自动扶梯共有多少级?

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12、若关于x 的方程 $\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{a x + 2}{(x - 1) (x + 2)}$ 无解，求a 的值.

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13、解方程： $\frac{2 x + 3}{4} + \frac{4}{2 x + 3} = \frac{4 - x}{3} + \frac{3}{4 - x} .$

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14、若关于x的分式方程 $\frac{m - 1}{x - 1} = 2$ 的解为非负数，则m 的取值范围是( ).

A、m>-1 B、m≥-1 C、m>-1且m≠1 D、m≥-1且m≠1

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15、设双曲线 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 与直线 $y = x$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线 $B A$ 的方向平移，使其经过点 $A$ ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 $A B$ 的方向平移，使其经过点 $B$ ，平移后的两条曲线相交于点 $P, Q$ 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”， $P Q$ 为双曲线的“眸径”.当双曲线 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 的眸径为6时， $k$ 的值为.

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16、如图，A，C是双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上关于原点对称的点，B，D是双曲线 $y = - \frac{3}{x}$ 上关于原点对称的点，圆弧 $\overset{⌢}{B A D}$ 与 $\overset{⌢}{B C D}$ 围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为．

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17、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x ＞ 0)$ 图像上的一个动点，若以点 $P$ 为圆心，3为半径的圆与直线 $y = x$ 相交，交点为 $A, B$ ，当弦 $A B$ 的长等于 $2 \sqrt{5}$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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18、如图，在直角坐标系中， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B, C B$ 为 $⊙ A$ 的直径，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0, x ＞ 0)$ 的图象上， $D$ 为 $y$ 轴上一点， $△ A C D$ 的面积为6，则 $k$ 的值为．

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19、小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的点 $A (\sqrt{3}, 1)$ 和点B为顶点，分别作菱形 $A O C D$ 和菱形 $O B E F$ ，点D，E在x轴上，以点O为圆心， $O A$ 长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求k的值；

(2)、求扇形 $A O C$ 的半径及圆心角的度数；

(3)、请直接写出图中阴影部分面积之和．

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20、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l : y = k x + 2$ 与 $x, y$ 轴分别相交于点A，B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x ＞ 0)$ 的图象相交于点C，已知 $O A = 1$ ，点C的横坐标为2．

(1)、求 $k, m$ 的值；

(2)、平行于 $y$ 轴的动直线与 $l$ 和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

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