相关试卷

1、先化简，再求值： $x^{2} (3 - x) + x (x^{2} - 2 x) + 1$ ，其中 $x = 3$ ．

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2、把下列各式分解因式：

(1)、 $4 a^{2} b^{2} - a b^{2}$ ；

(2)、 $m (a - b) - n (a - b)$ ．

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3、如图，灯塔 $C$ 在海岛 $A$ 的北偏东 $75 °$ 方向，一条船从 $A$ 岛出发，由西向东航行30海里到达 $B$ 处，此时，测得灯塔 $C$ 在 $B$ 处的北偏东 $60 °$ 方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔 $C$ 的最短距离为海里．

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4、某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边 $B$ 点，选对岸正对的一棵树 $A$ ；②沿河岸直走 $20 m$ 有一棵树 $C$ ，继续前行 $20 m$ 到达 $D$ 处；③从 $D$ 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 $A$ 树正好被 $C$ 树遮挡住的 $E$ 处停止行走；④测得 $D E$ 的长为 $12 m$ ，那么河的宽度是 $m$ ．

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5、命题“如果 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ，那么 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为邻补角”的逆命题是，它是命题（填“真”或“假”）．

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6、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $A C = 9$ ，则 $A D =$ ．

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7、小明抄写在作业本上的式子 $x^{\oplus} - 9 y^{2}$ （“ $\oplus$ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了 $x$ 的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（）

A、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ B、 $(x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)$ C、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ 或 $(x^{2} + 9 y) (x^{2} - y)$ D、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ 或 $(x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)$

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8、明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若 ${(- 2 a^{2})}^{k} = - 8 a^{6}$ ，则 $k$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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10、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ B、 ${(- a^{4})}^{5} = a^{20}$ C、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ D、 ${(4 a)}^{2} = 8 a^{2}$

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11、如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（）

A、三角形具有稳定性 B、垂线段最短 C、两点之间线段最短 D、两点确定一条直线

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12、2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{- 5}$ B、 $0.12 \times 10^{- 6}$ C、 $1.2 \times 10^{- 6}$ D、 $12 \times 10^{- 5}$

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13、《道德经》被誉为“万经之王”，被后人尊奉为治国、齐家、修身、为学的宝典．在《道德经》中，有一句“道生一，一生二，二生三，三生万物”．下列汉字可以看作轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题：

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标．

(2)、在平面直角坐标系中，经过点 $M (0, m)$ 且平行于 $x$ 轴的直线记作直线 $y = m$ ．
给出定义：将点 $P (x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点记作点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于直线 $y = m$ 的对称点记作点 $P_{2}$ ，则称点 $P_{2}$ 为点 $P (x, y)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = m$ 的“双轴对称点”．
例如：点 $P (3, 1)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = 3$ 的“双轴对称点”为点 $P_{2} (- 3, 5)$ ．
①点 $A (3, 4)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = 1$ 的“双轴对称点” $A_{2}$ 的坐标是_____；
②点 $B (3 m + n, m - n)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = m$ 的“双轴对称点” $B_{2}$ 的坐标是 $(- 9, 5)$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值；

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15、如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (2, 3)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图中，若 $B_{2} (- 4, 2)$ 与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时C点关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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16、【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且 $A B = B C$ ， $∠ C = ∠ A$ ，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量 $C Q$ 的长即可，画出示意图，如图2．
（1）甲小组的方案正确吗？请说明理由．
【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得 $∠ P A D = 70 °$ ，改变点D的位置，当 $∠ A D P = 55 °$ 时，只需测量 $A D$ 的长即可，画出示意图，如图3．
（2）乙小组的方案用到了________．（填序号）
①等角对等边 ②垂线段最短 ③等腰三角形“三线合一”

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17、提出问题：为了重温红军取得腊子口战役胜利的那段“红色记忆”，同学们来到位于甘南藏族自治州迭部县“腊子口战役纪念碑（如图1）”所在地，在了解相关历史背景后，某数学兴趣小组开展了测量“腊子口战役纪念碑的高度”的实践活动．
数据采集：如图2，A是纪念碑的顶部一点， $A B$ 的长表示点A到水平地面的距离，航模从纪念碑前水平地面上的点M处先竖直上升至距离地面7米的点C处，此时测得碑顶点A的仰角 $∠ A C D = 22 °$ ；随后沿 $C N$ 方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角是 $35 °$ ，当到达碑顶正上方的点E处时，测得 $A E = 1.65$ 米．（图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点共线）
解决问题：根据上述数据，计算腊子口战役纪念碑顶部点A到地面的距离 $A B$ 的长．（结果精确到据0.1米．参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ）

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18、笛卡尔在其著作《几何》中，将几何问题转化为代数问题进行研究．在探讨尺规作图的可能性时，他通过构建几何图形与代数方程的联系，发现对于给定长度的线段，能够利用尺规作图的方法构造出长度为其算术平方根的线段．请你根据以下步骤完成这个作图过程．
如图，已知 $A C$ 的长为6个单位长度，点B在线段 $A C$ 上，且 $A B$ 的长为1个单位长度，求作一条线段，使其长为 $\sqrt{5}$ 个单位长度，作法如下：
①作线段 $A C$ 的垂直平分线，交 $A C$ 于点O；
②以O为圆心， $O A$ 长为半径画圆；
③过点B作 $A C$ 的垂线，交 $A C$ 上方的 $⊙ O$ 于点P，则线段 $B P$ 即为所求．

(1)、根据以上作法，请你用不带刻度的直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）

(2)、在第（1）问作图的基础上，小文尝试证明： $B P = \sqrt{5}$ ，请你补全过程：
证明：连接 $P A ， P C$ ， $∵$ $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∴$ ①______ $= 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ C = 90 °$ ， $∵ P B ⊥ A C$ ， $∴ ∠ P B C = ∠ P B A = 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ A P B = 90 °$ ， $∴$ ②______ $= ∠ A P B$ ，
∴ $△ A P B ∽ △ P C B$ ， $∴ \frac{A B}{P B} = \frac{B P}{B C}$ ， $∴ P B^{2} = A B \cdot B C$ ，
$∵ A B = 1$ ， $B C = 5$ ， $∴ P B^{2} = 1 \times 5 = 5$ ， $∴ P B = \sqrt{5}$ ．
填空：①______；②______．

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19、关于二次函数 $y = {(x + 2)}^{2} + 6$ 的图象，下列结论正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是 $x = 2$ C、与 $y$ 轴交于点 $(0, 6)$ D、当 $x < - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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20、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与y轴交于点B，且与正比例函数 $y = \frac{3}{2} x$ 的图像交于点 $C (m, 6)$ ．

(1)、求m的值与一次函数解析式；

(2)、如图，一动直线 $x = t$ 分别与两直线交于P，Q两点，若 $P Q = 2$ ，求t的值；

(3)、在y轴上是否存在点M，使得 $△ A B M$ 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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