相关试卷

1、在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道题目．以下两个小组分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这两小组提出的题目吧．
【励志小组】如图1，分别以长方形 $O A B C$ 的边 $O C$ ， $O A$ 所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知 $A O = 10$ ， $A B = 6$ ，点E在线段 $O C$ 上，以直线 $A E$ 为轴，把 $△ O A E$ 翻折，点O的对应点D恰好落在线段 $B C$ 上．
（1）直接写出点D坐标；直线 $A D$ 表达式；点E坐标；
（2）P是x轴上的一动点，若 $S_{△ P A D} = 3 S_{△ A D E}$ ，求点P坐标．
【创新小组】如图2，正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $12$ ，点F是 $A D$ 上一点，将 $△ C D F$ 沿 $C F$ 折叠，点D落在点G处，连接 $D G$ 并延长交 $A B$ 于点E，若 $A E = 5$ ，请直接写出 $G E$ 的长．

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2、【概念理解】对于给定的一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， $k$ 、 $b$ 为常数），把形如 $y = \{\begin{array}{l} k x + b (x \geq 0) \\ - k x + b (x < 0) \end{array}$ （ $k \neq 0$ ， $k$ 、 $b$ 为常数）的函数称为一次函数 $y = k x + b$ 的衍生函数．
例如：一次函数 $y = 2 x + 3$ 的衍生函数为 $y = \{\begin{array}{l} 2 x + 3 (x \geq 0) \\ - 2 x + 3 (x < 0) \end{array}$ ．
【理解运用】
（1）已知一次函数 $y = - 2 x + 1$ ．
①该函数的衍生函数为 $y = \{\begin{array}{l} _____(x \geq 0) \\ _____(x < 0) \end{array}$    ，在图1网格中直接画出该衍生函数的图象；
②若点 $G (n, - 3)$ 在这个一次函数的衍生函数图象上，n的值为                  ；
（2）如图2，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， $k$ 、 $b$ 为常数）的衍生函数图象经过点 $P (- 2, 3)$ ，交 $x$ 轴于点 $Q$ ，若 $P Q = \sqrt{10}$ ，该一次函数的表达式为                                     ；
【拓展提升】
（3）如图3，点 $P (- 2, 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4, 1)$ ，连接 $P C$ ．当线段 $P C$ 与一次函数 $y = 2 x + b$ 的衍生函数的图象只有1个交点时，直接写出b的取值范围                                           ．

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3、某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．

(1)、若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？

(2)、由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若 $20 \leq m \leq 30$ ，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？

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4、王老师想骑共享电动车，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行 $x \min$ ，收费 $y_{A}$ 元，且 $y_{A} = \frac{2}{5} x$ ；B品牌电动车骑行 $x \min$ ，收费 $y_{B}$ 元，且 $y_{B} = \{\begin{array}{l} 6 (0 < x \leq 10) \\ a x + b (x > 10) \end{array}$ ， A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．

(1)、写出点P表示的实际意义．

(2)、已知王老师家与学校的距离为 $9 km$ ，且王老师骑电动车的平均速度为 $300 m/min$ ，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．

(3)、当 $x =$ 时，两种品牌共享电动车收费相差3元．

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5、如图， $∠ B C D$ 的平分线交 $∠ A B C$ 的平分线于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $N$ ，若 $∠ C M B ＝ 90 °$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$ ．

(2)、若 $C N = 6$ ， $C B = 5$ ，求 $△ C B N$ 的面积．

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6、为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校开展了丰富多彩的体育活动．小华与小夏两名同学本学期体育活动月得分统计结果如下：
小华对两人的体育活动月得分进行了如下分析（80分以上为优秀）：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
小华
90
a
b
3.6
$100 %$
小夏
90
93
93
39.6
c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______；

(2)、小夏认为两人体育活动月得分的平均数相等，因此两人本学期体育活动的成绩一样好．小华认为小夏的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小华说明理由（写出两条即可）．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{48} - \sqrt{6} \div \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

(2)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + |\sqrt{3} - 2| - {(2020 - π)}^{0} + \sqrt[3]{- 8}$

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8、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ D A E = ∠ C A B = 90$ °，点C在边 $D E$ 上， $B C$ 与 $A E$ 交于点F，若 $C E = 1$ ， $D C = 3$ ，记 $△ A B F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C E F$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2} =$ ．

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9、比较大小：5 $4 \sqrt{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”“ $=$ ”）．

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10、如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $130 {cm}^{2}$ B、 $120 {cm}^{2}$ C、 $150 {cm}^{2}$ D、 $140 {cm}^{2}$

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11、有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　）

A、这组数据的下四分位数是4 B、这组数据的中位数是10 C、这组数据的上四分位数是15 D、被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13

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12、若正比例函数 $y = (a - 3) x$ （a为常数）的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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13、如图①，在 $Rt △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发，沿射线 $B C$ 方向以每秒2个单位的速度向右运动，连接 $A P$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、当 $t = 1$ 秒时，求 $A P$ 的长度；

(2)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $P C$ 的长度；

(3)、当 $A P$ 分 $△ A B C$ 的面积为 $2 : 3$ 两部分时，求 $t$ 的值．

(4)、如图②，M是线段 $C B$ 延长线上的一点， $B M = 1$ ，作点 $C$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $C^{'}$ ，当点 $C^{'}$ 落在直线 $A M$ 上时，直接写出 $t$ 的值．

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14、已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
∵ ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
∴ $2 a b = a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}$
∵ $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，
∴ $2 a b = 25 - 1^{2} = 24$
∴ $a b = 12$ ．
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出 ${(a + b)}^{2}$ 的值，请你直接写出 ${(a + b)}^{2}$ 的值．
（2）若 $x + y = 1$ ， $x y = - \frac{3}{4}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 和 ${(x - y)}^{2}$ 的值．
【拓展提升】
（3）如图，以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ ， $B C$ 为边作正方形 $A B D E$ 和正方形 $B C F G$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $6.5$ ，正方形 $A B D E$ 和正方形 $B C F G$ 面积和为 $35$ ，直接写出 $A G$ 的长．

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15、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容．

2．线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴、如图12.4.1，直线 $M N$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线， $P$ 是 $M N$ 上任一点，连接 $P A$ 、 $P B$ ．将线段 $A B$ 沿直线 $M N$ 对折，我们发现 $P A$ 与 $P B$ 完全重合．于是有：

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

已知：如图12.4.1， $M N ⊥ A B$ ，垂足为点C， $A C = B C$ ，点P是直线 $M N$ 上的任意一点．

求证： $P A = P B$ ．

分析图中有 $Rt △ A P C$ 和 $Rt △ B P C$ ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 $P A = P B$ ．

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在 $△ A B C$ 中，请你用无刻度的直尺和圆规作 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点E，垂足为D，连接 $A E$ ．若 $△ A E C$ 的周长为34， $A C = 14$ ，则 $B C$ 的长度为______．

（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ， E、P分别是 $A B 、 A D$ 上任意一点，若 $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为30，则 $B P + E P$ 的最小值是________．

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16、近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、参与本次调查的学生有_______人，扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数为______ $°$ ；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若该校共有学生560人，喜欢“滑雪橇”的学生约有多少人？

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17、如图，图①、②是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段 $A B$ 的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以 $A B$ 为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为腰画等腰 $△ A B C$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为底画等腰 $△ A B D$ ，且顶角为锐角，并写出 $△ A B D$ 的面积．

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18、如图，已知 $∠ B = ∠ E$ ，点 $C$ 和点 $F$ 在线段 $B E$ 上， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $O$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B F = E C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ A O F = 56 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数为度．

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19、计算

(1)、 $\sqrt{25} + \sqrt[3]{- 8} + |2 - \sqrt{5}|$ ；

(2)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div 3 a + 2 a$ ．

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20、如图，在等边 $△ A B C$ 中有一点 $P$ ，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，将 $B P$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B D$ ，连接 $P D 、 A D$ ．给出下面四个结论： $① △ B P C ≌ △ B D A$ ； $② △ B D P$ 是等边三角形； $③ P A = P D$ ； $④$ 若 $∠ B P C = 150 °$ ，则 $P A^{2} = P B^{2} + P C^{2}$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是．

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	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）	方差	优秀率
小华	90	a	b	3.6	$100 %$
小夏	90	93	93	39.6	c