相关试卷

1、已知﹣1＜a＜ $\sqrt{2}$ ，则a可取的整数值为．

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2、16的平方根是， $\sqrt{3}$ 的相反数是．

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3、在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(1012, 1)$ B、 $(1013, 1)$ C、 $(1014, 1)$ D、 $(1015, 1)$

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4、若 $x^{2} = 64$ ，则 $\sqrt[3]{x} =$ （）

A、2 B、8 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 8$

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5、下列各式中，属于二元一次方程的是（）

A、 $x^{2} + y = 0$ B、 $x = \frac{2}{y} + 1$ C、 $\frac{x + y}{3} - y = 1$ D、 $y + 2 x$

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6、二元一次方程 $3 a - 4 b = 0$ （）

A、有且只有一个解 B、有无数解 C、无解 D、有且只有两解

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7、在平面直角坐标系中，点 $P (3, 2)$ 到 $x$ 轴的距离是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、2

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8、在 $- 2$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{2}$ ， 3.14， $\sqrt[3]{- 27}$ ，这5个数中，无理数共有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9、
动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论．
小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究：
三角板 $A B C$ 与三角板 $D E F$ 如图 $1$ 所示摆放，其中 $∠ A C B = ∠ E D F = 90 °, ∠ B A C = 30 °, ∠ D E F = 45 °, G H ∥ M N$ ，若点 $A, B$ 在直线 $G H$ 上，点 $E, F$ 在直线 $M N$ 上．
【操作一】以如图 $1$ 为其中位置，小祥固定三角板 $D E F$ 不动，小嘉将三角板 $A B C$ 绕点 $A$ 以每秒 $3 °$ 的速度逆时针旋转，设时间为 $t$ 秒，且 $0 \leq t \leq 30$ ．
（1）当 $A C$ 与 $E F$ 平行时，则t的值为　　；
（2）① 当 $t = m$ 秒时， $B C$ 与 $D F$ 平行，求出 $m$ 的值．
②若 $0 \leq t < m$ 时，若射线 $B C$ 与射线 $D F$ 相交于点 $P$ ，作出图形，并判断 $∠ C A H + ∠ B P F$ 是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【操作二】
（3）以如图 $1$ 为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板 $A B C$ 绕点 $A$ 以每秒 $3 °$ 的速度逆时针旋转，小祥将三角板 $D E F$ 绕点 $E$ 以每秒 $0.5 °$ 的速度逆时针旋转，设时间为 $t$ 秒，且 $0 \leq t \leq 120$ ，当 $D F$ 与 $B C$ 平行时，直接写出 $t$ 的值．

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10、已知 $△ A B C$ 为等边三角形(三边相等、三个角为 $60 °$ )， $F$ 与 $D$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 上一点．

(1)、如图1， $F$ ， $D$ 分别为中点，取 $A C$ 中点 $E$ ，连接 $E F$ ， $E D$ ， $D F$ ，证明： $E F = F D = D E$ ；

(2)、如图2， $A F = B D$ ，线段 $A C$ 上取一点 $E$ ，使得 $E C = B D$ ，连接 $E F$ ， $E D$ ， $D F$ ，证明： $∠ F D E = 60 °$ ；

(3)、如图3， $A F = 2 B D$ ，以 $F D$ 为边作等边三角形 $F D E$ ，连接 $E C$ ，证明： $E C$ 平分 $∠ A C B$ ． (辅助知识点：等腰三角形底角相等)

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11、观察： $3 \times 7 = 21$ ， $13 \times 17 = 221$ ， $23 \times 27 = 621$ ， $33 \times 37 = 1221$ ， $\dots$ 你发现其中末尾两位数字的规律了吗？

(1)、表示出第 $6$ 个等式，并猜想末尾两位数字的规律．

(2)、用字母表示第 $(n + 1)$ 个等式，并用代数式解释规律．

(3)、在探究规律时，除了末尾两位数字规律以外，有同学将等式进行变形得： $3 \times 7 = 5^{2} - 4$ ， $13 \times 17 = 15^{2} - 4$ ， $23 \times 27 = 25^{2} - 4$ ， $33 \times 37 = 35^{2} - 4$ ， …，你能从中发现三个连续奇数之间的规律吗？并用代数式解释规律．

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12、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ D C B$ ， $B C + C D = A C$ ，四边形的面积为16，
① 若 $A C = 4 C D$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为．
② 若 $A C$ 与 $∠ D C B$ 在不发生变化的情况下，当 $A D + A B$ 取最小时， $△ A B C$ 的面积为．

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13、埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．埃拉托斯特尼发现，在当时的城市塞恩（图中的A点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线 $7 ° 12^{'}$ （图中 $α = 7 ° 12^{'}$ ）因为太阳光是平行光线，所以 $α$ 与 $θ$ 角相等．根据这个数据，可以算出地球的周长约等于25000英里，这是因为“弧 $A B$ 的长 $\div θ =$ 地球周长 $\div 360$ ”的缘故，其中弧 $A B$ 的长大约为500英里．由于1英里约等于 $1.6 km$ ，从而估算出地球周长为 $40000 km$ ．小明想用这种方式来计算出甲乙两地的距离，在甲地直立的杆子在没有影子时，乙地直立的杆子却偏离太阳光线 $1 ° 48^{'}$ ，则甲乙两地相距 $km$ ．

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14、如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是．

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15、已知 $a + b = 6, a b = - 16$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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16、在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系．
在 $△ A B C$ 中，线段 $B D$ 和 $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B D$ 与 $C E$ 相交于点P，判断 $∠ C P B$ 与 $∠ A$ 的关系．

(1)、同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出 $∠ C P B$ 的度数；

(2)、请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出 $∠ C P B$ 的度数；

(3)、猜想 $∠ C P B$ 与 $∠ A$ 的关系，并证明 $∠ C P B$ 与 $∠ A$ 的关系．

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = a$ （ $a > 0$ 为常数），点 $P$ 是斜边 $A B$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $P E ⊥ B C$ 于点E，得到长方形 $P D C E$ ．记 $A D = x$ （ $0 < x < a$ ）．

(1)、如图为线段 $a$ 的长，请在此基础上画出 $△ A B C$ 及长方形 $P D C E$ ；

(2)、用含 $a$ 和 $x$ 的整式表示长方形 $P D C E$ 的面积 $S$ 和周长 $L$ ，并将结果化简；

(3)、结合第（2）问的表达式，猜想当 $x$ 为何值时 $S$ 取得最大值，证明你的猜想，并说明此时点 $P$ 的位置．

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18、填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 角平分线， $D E ∥ A C$ ，交 $B C$ 于点E，点F是 $A D$ 上一点且 $∠ 4 = ∠ 3$ ，那么 $E F$ 平分 $∠ D E B$ 吗？
解：∵ $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线（已知），
∴ $∠ 1 =$ ______．
∵ $A C ∥ D E$ （已知），
∴ ____________（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ 2 = ∠ 3$ （等量代换）．
∵ $∠ 4 = ∠ 3$ （已知），
∴ $C D ∥ E F$ （），
$∠ 2 = ∠ 5$ （），
∴ $∠ 4 = ∠ 5$ （等量代换），
∴ $E F$ 平分 $∠ D E B$ ．

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19、先化简，再求值： $(2 m + n) (2 m - n) - {(m - 2 n)}^{2} + (6 m^{4} - 10 m^{2} n^{2}) \div (- 2 m^{2})$ ，其中 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = - 2$ ．

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20、计算与化简：

(1)、 ${(4 - π)}^{0} - {(- 2)}^{- 2} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - {(- 1)}^{2026}$

(2)、 $(3 x + y) \cdot (x - y) - (x + 3 y) \cdot (5 x - 6 y)$

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