相关试卷

1、点 $(- 2, - 1)$ ， $(- 1, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(1, 2)$ 中，在函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 的图象上的点的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2、下列长度的3条线段，不能首尾相连构成直角三角形的是（）

A、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ B、9，16，25 C、1， $\frac{4}{3}$ ， $\frac{5}{3}$ D、7，24，25

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3、如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．已知 $D E = \sqrt{2}$ ， $A E = \sqrt{10}$ ，则 $B F$ 的长为．

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4、（1）如图①，已知线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ，作一条线段，使它等于 $a + b - c$ （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，点 $A$ ， $B$ 在直线 $l$ 上， $P$ 是直线 $l$ 外一点．按下列语句画出图形：连接 $A P$ ，作射线 $P B$ ，直线 $P C$ 与线段 $A B$ 相交于点 $C$ ；
（3）如图③，已知 $∠ C O D = 38 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为___________．

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5、【问题】如图甲，在等边 $△ A B C$ 内有一点P，且 $P A = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ ， $P C = 1$ ，求 $∠ B P C$ 的度数和等边 $△ A B C$ 的边长．
【探究】解题思路是：将 $△ B P C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，如图乙所示，连接 $P P^{'}$ ． $△ P^{'} P B$ 是三角形， $△ P P^{'} A$ 是三角形， $∠ B P C =$ ；
【拓展】如图丙，在正方形 $A B C D$ 内有一点P，且 $P A = \sqrt{5}$ ， $B P = \sqrt{2}$ ， $P C = 1$ ，求 $∠ B P C$ 的度数．

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6、【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1， $M N ∥ P Q$ ，点 $C$ 、 $B$ 分别在直线 $M N$ 、 $P Q$ 上，点 $A$ 在直线 $M N$ 、 $P Q$ 之间．

（1）试说明： $∠ C A B = ∠ M C A + ∠ P B A$ ；
【类比应用】
（2）已知直线 $A B ∥ C D$ ， P为平面内一点，连接 $P A$ 、 $P D$ ．
①如图2，已知 $∠ A = 50 °$ ， $∠ D = 150 °$ ，求 $∠ A P D$ 的度数，请说明理由．
②如图3，设 $∠ P A B = α$ 、 $∠ C D P = β$ ，猜想 $α$ 、 $β$ 、 $∠ P$ 之间的数量关系为______．

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7、同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！

(1)、填空：如图①，若直角边 $a = 1$ ，直角边 $b = 3$ ，则斜边 $c =$ ________；

(2)、观察图②，其中两个相同的直角三角形边 $A E$ 、 $E B$ 在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；

(3)、如图③所示，折叠长方形 $A B C D$ 的一边 $A D$ ，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $F$ 处，已知 $A B = C D = 8$ ， $B C = A D = 10$ ，求 $E F$ 的长．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点E是边 $A B$ 上一点，以 $B E$ 为直径的半圆O交 $A C$ 于点D，连接 $E D$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点F，且 $B F = B E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 30 °$ ， $B C = 9$ ，求阴影部分的面积．

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9、某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由 $8$ 位评委打分（满分 $10$ 分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持．
数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图：
数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析：
同学
平均数/分
中位数分
众数分
方差
甲
$7.25$
$b$
$7$
$1.69$
乙
$a$
$7.5$
$c$
$3.94$
请认真阅读以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ _________， $b =$ _________， $c =$ _________．

(2)、甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可）

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10、如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(1, 2)$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，将 $△ A O B$ 沿 $x$ 轴正方向平移后得到 $△ C D E$ ，点 $A$ 的对应点为点 $C$ ．若 $O E = 9$ ， $B D = 1$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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11、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为．

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12、已知圆锥的底面圆半径为 $2cm$ ，母线长为 $6cm$ ，则圆锥的侧面积是．

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13、用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率 $f$ （单位： $kHz$ ）可近似地看成吸管长度 $l$ （单位： $mm$ ）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率 $f$ 关于吸管长度 $l$ 的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）

A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D、对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大

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14、2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行，“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送快递员骑行路程为 $10 km$ ，无人机走直线路程为 $8 km$ ，无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比快递员早到22分钟．设外卖员配送速度为 $x km / h$ ，根据题意可列分式方程（）

A、 $\frac{10}{3 x} - \frac{8}{x} = 22$ B、 $\frac{10}{x} - \frac{8}{3 x} = 22$ C、 $\frac{10}{3 x} - \frac{8}{x} = \frac{11}{30}$ D、 $\frac{10}{x} - \frac{8}{3 x} = \frac{11}{30}$

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（）

A、 $∠ B A D = ∠ B$ B、 $D E ⊥ A B$ C、 $D E = D C$ D、 $∠ B D E = ∠ B A C$

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16、如图是一次函数 $y = k x + b$ 的图象，当 $k x + b \geq 0$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < 3$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \geq - 2$

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17、为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18、下列图案是国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、材料：对于一个关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
例：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值；
解：令 $x^{2} + 2 x + 5 = y$
$∴ x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$
$∴ Δ = 4 - 4 \times (5 - y) \geq 0$
$∴ y \geq 4$ ， $∴ x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为 $4$ ．
请利用上述方法解决下列问题：
题一：如图1，在 $△ A B C$ 中， $B C = 10$ ，高 $A D = 8$ ，矩形 $E F P Q$ 的一边 $Q P$ 在边上， $E$ 、 $F$ 两点分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D$ 交 $E F$ 于点 $H$ ．设 $E Q = x$ ．
①用含 $x$ 的代数式表示 $E F$ 的长为________；
②求矩形 $E F P Q$ 的面积最大值．
题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为 $300$ 平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

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20、据统计， $2023$ 年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约 $4.5$ 万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强， $2025$ 年“五一”假期接待游客量达约 $7.605$ 万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有 $40$ 间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为 $200$ 元时可全部住满；每间客房每天定价每增加 $20$ 元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出 $40$ 元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用．

(1)、求 $2023$ 年“五一”到 $2025$ 年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率；

(2)、为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为 $8640$ 元？

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同学	平均数/分	中位数分	众数分	方差
甲	$7.25$	$b$	$7$	$1.69$
乙	$a$	$7.5$	$c$	$3.94$