相关试卷

1、定义：已知一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的 $y$ 倍（ $y > 0$ ），则称这个矩形是已知矩形的“ $y$ 倍”矩形．已知一个长为5，宽为4的矩形，若它的“ $y$ 倍”矩形存在，则 $y$ 的最小值为．

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2、每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动．今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．

揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠？
素材1	纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．活动二：所有商品打 $8.5$ 折．注：两种活动不能同时参加．
素材2	小明家用的两种纸巾信息（超市标价）．规格：每袋12包规格：每箱12包
素材3	小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1	半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2	按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3	小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．

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3、化简求值：

(1)、 $3 n - [5 n + (3 n - 1)]$ ，其中 $n = - 2$ ；

(2)、 $- 3 (x^{2} + y^{2}) - [- 3 x y - 2 (x^{2} - y^{2})]$ ，其中 $x = - 1 ， y = 2$

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4、将下列各数填入相应的大括号内．
$- 11$ ， $\sqrt{5}$ ， $3$ ， $\sqrt{\frac{9}{11}}$ ， $0$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\sqrt{196}$ ， $- π$ ， $0.4$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
有理数：{                                               …}；
无理数：{                                               …}；
正实数：{                                               …}；
实数：{                                                      …}；

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5、计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2024} - 8 \times {(\frac{3}{2})}^{2} + (- 5)$ ；

(2)、 $\sqrt{81} + \sqrt[3]{- 27} + \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2}}$ ．

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6、某市煤气费的收费标准为：每月用煤气若不超过 $30 m^{3}$ ，按每立方米 $2.2$ 元收费；若超过 $30 m^{3}$ ，则超过部分按每立方米 $2.6$ 元收费．已知某住户某个月用煤气 $x （ m^{3} ）（ x > 30 ）$ ，则该住户应交煤气费元．

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7、已知当x为1，2，4时，代数式 $a x + b$ 的值分别为m，1，n，则 $2 m + n$ 的值为．

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8、代数式 $3 a^{2} b + 2 a b + a - 1$ 是次多项式，它的常数项是．

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9、温州奥体中心主体育场是第19届杭州亚运会足球项目比赛场馆之一，其建筑面积约为70500平方米．数据70500用科学记数法表示为（）

A、 $0.705 \times 10^{4}$ B、 $7.05 \times 10^{4}$ C、 $70.5 \times 10^{3}$ D、 $705 \times 10^{2}$

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10、如图，点C，E是线段 $A B$ 上两点，点D为线段 $A B$ 的中点， $A B = 6 ， C D = 1$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、若 $A E : E C = 1 : 3$ ，求 $E C$ 的长．

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11、如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y_{2} = m x + 1$ 的图像在第一象限交于点 $A (3, 4)$ ，点 $B$ 位于第一象限，且是反比例函数图象上一点， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交一次函数的图象于点 $D$ ，连接 $A B$ ．

(1)、 $k =$ ， $m =$ ；

(2)、当 $O C = 6$ 时，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 12$ ．点 $P$ 沿折线 $A B \to B C$ 运动，在 $D P$ 上总有点 $Q$ 满足 $∠ A Q D = 90 °$ ，则 $C Q$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a b c > 0$ ，求 $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c}$ 的值．
【解决问题】
解：由题意，得 $a 、 b 、 c$ 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
① $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正数，即 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ 时，则 $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} = 1 + 1 + 1 = 3$
②当 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 $a > 0 ， b < 0 ， c < 0$ ，则 $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} = \frac{a}{a} + \frac{- b}{b} + \frac{- c}{c} = 1 + (- 1) + (- 1) = - 1$
综上所述， $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c}$ 的值为 $3$ 或 $- 1$ ．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

(1)、填空：
①当 $|a| = 5 ， |b| = 0$ 时，则 $a + b$ 的值为；
②已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是有理数，当 $|a b| = - a b$ 时，则 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|}$ 的值为；

(2)、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是有理数，当 $a b c < 0$ 时，求 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|}$ 的值；

(3)、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是有理数， $a + b + c = 0$ ， $a b c < 0$ ，求 $\frac{b + c}{|a|} + \frac{c + a}{|b|} + \frac{a + b}{|c|}$ 的值．

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14、七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：

(1)、每本数学课本的厚度是___________厘米；

(2)、若课本数为 $x$ （本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度为___________厘米；（用含 $x$ 的代数式表示）

(3)、若课本数 $x = 50$ ，则整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度．

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15、观察下列三行数，并解答后面的问题：
$①$
$- 2$
$4$
$- 6$
$8$
$- 10$
$\dots$
$②$
$1$
$- 2$
$3$
$- 4$
$5$
$\dots$
$③$
$0$
$- 3$
$2$
$- 5$
$4$
$\dots$

(1)、根据第 $①$ 行数的规律，写出其中第 $6$ 个数为___________；第 $n$ 个数为___________；

(2)、根据排列规律，分别写出上面三行数的第 $7$ 个数，并计算这三个数的和；

(3)、设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 分别表示第 $① ② ③$ 行数的第 $2025$ 个数，求出 $x + y + z$ 的值．

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16、【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知 $2 x - y = 1$ ，求代数式 $2024 + 2 x - y$ 的值；解：当 $2 x - y = 1$ 时，原式 $= 2024 + 1 = 2025$ ．
【尝试运用】

(1)、已知 $x^{2} - 2 y = 4$ ，求 $3 (x^{2} - 2 y) - 21$ 的值；

(2)、已知 $x + 2 y - 3 = 0 ， x - 2 y + 5 = 0$ ，求 $(x + 2 y) (x - 2 y) + 10$ 的值．

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17、已知有理数 $a$ 、 $b$ ，其中数 $a$ 在如图所示的数轴上对应点 $M$ ， $b$ 是负数，且 $b$ 在数轴上对应的点与原点的距离为4．

(1)、 $a =$ __________ $， b =$ ___________；

(2)、写出大于 $- 3.5$ 的所有负整数；

(3)、在数轴上标出表示的数： $- 3.5$ ， 0， $- a$ ， $|b|$ 的点，并用“<”将这些数连接起来．

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18、计算：

(1)、 $(- 13) + (+ 20) - (- 7) + (- 16)$

(2)、 $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}) \times 12$

(3)、 $- 12 - 8 \div (- 2) \times \frac{1}{2}$

(4)、 $- 2^{4} \times \frac{1}{4} - |- 5 + 3^{2}| \div \frac{1}{2}$

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19、将下列各数填入相应的集合内：(只填序号)
① $3.14$ ② $- 3$ ③ $|- 3 \frac{1}{3}|$ ④ $0$ ⑤ $2.5$ ⑥ $- (- 2)$ ⑦ $- \frac{13}{11}$ ⑧ $- 20$
正数集合：{___________…}
负数集合：{___________…}
整数集合：{___________…}
负整数集合：{___________…}
非负有理数集合：{___________…}

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20、下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第10个图案由个基础图形组成，……，第 $n$ 个图案由个基础图形组成．

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$①$	$- 2$	$4$	$- 6$	$8$	$- 10$	$\dots$
$②$	$1$	$- 2$	$3$	$- 4$	$5$	$\dots$
$③$	$0$	$- 3$	$2$	$- 5$	$4$	$\dots$