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1、已知，如图点M为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 中点，点D为直线 $A M$ 上一个动点（不与点A重合）， $D E ∥ A B, C E ∥ A M$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1，当点D与M重合时，求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、如图2，当 $∠ B D E = 90 °$ 时，求证：四边形 $A B D E$ 是矩形；

(3)、如图3，延长 $B D$ 交边 $A C$ 于点H，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F，若 $B H ⊥ A C$ ，且 $B H = \sqrt{2} A M$ ，求证：四边形 $A F D H$ 是正方形．

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E， $P F ⊥ A B$ 于点F．若菱形 $A B C D$ 的周长为20，面积为24，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、6 D、 $\frac{24}{5}$

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A B$ 交对角线 $A C$ 于点E．若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 度数为（）

A、 $105 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $135 °$

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4、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则 $B C$ 的长度为（）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ C B E$ 是等边三角形， $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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6、如图，在数轴上点 $A$ 表示数 $a$ ，点 $B$ 表示数 $b$ ，点 $C$ 表示数 $c$ ， $b$ 是最小的正整数，且 $a$ 、 $b$ 满足 $| a + 2 | + {(c - 6)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$                      ， $b =$                    ， $c =$                      ．

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 同时从原点出发，点 $P$ 向负半轴运动，点 $Q$ 向正半轴运动，点 $Q$ 的速度是点 $P$ 速度的3倍，2秒钟后，点 $P$ 到达点 $A$ ．
①点 $Q$ 的速度是每秒                    个单位，此时，点 $P$ 与 $Q$ 之间的距离为                    ；
②若运动时间为 $t$ 秒，用含 $t$ 的代数式表示点 $P$ 表示的数为                    ；
③点 $Q$ 到达点 $C$ 后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点 $P$ 与点 $Q$ 能相遇？

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7、已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{cases} x - 2 y = - 6 \\ b x + a y = - 8 \end{cases}$ 与方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 10 \\ a x - b y = 6 \end{array}$ 有相同的解．

(1)、求这两个方程组的相同解；

(2)、求 ${(a - b)}^{2026}$ 的值．

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8、如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字形图案盖住图1中的7个数，若“工”字形图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为．

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9、一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是（）

A、 $x - 1 < 0$ B、 $x - 1 > 0$ C、 $x - 1 \leq 0$ D、 $x - 1 \geq 0$

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10、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 60 °$ ，点E为菱形 $A B C D$ 内部一点，将 $△ B C E$ 绕B点顺时针旋转 $60 °$ ，使边 $B C$ 与 $A B$ 重合，得到 $△ B A M$ ，且点M、A、E在同一直线上．延长 $B E$ 交射线 $A D$ 于G点，延长 $C E$ 交射线 $A D$ 于F点．

(1)、求 $∠ F E G$ 的度数．

(2)、若 $F E = 2$ ， $E C = 4$ ，求 $A F$ 的长．

(3)、当E在内部运动时，求 $\frac{F G + F D}{A F}$ 的最小值．

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11、某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长 $2.7 m$ ，球网位于球台正中间，球网高 $0.15 m$ ，球网与原点O的水平距离为 $1.35 m$ ．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当 $O A = 0.4 m$ 时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为 $0.5 m$ ，距离球台水平面的高度为 $0.45 m$ ．

(1)、求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

(2)、请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网；

(3)、乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为 $0.2 m$ ．若最佳击球高度为 $0.15 m$ ，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，且 $D C = D B$ ， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点D， $D E$ 交 $C A$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $D E ⊥ C E$ ；

(2)、若 $∠ A C D = 30 °$ ， $C B = 4$ ，求四边形 $D E C B$ 的面积．

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13、一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，当 $p \leq x \leq q$ 时，记该函数在区间 $[p, q]$ 上的最小值与最大值的和为 $F (p, q)$ ．如一次函数 $y = x + 1$ ，当 $2 \leq x \leq 5$ 时， $F (2, 5) = (2 + 1) + (5 + 1) = 9$

(1)、若一次函数 $y = k x + b$ 满足 $F (1, 3) = 10$ ， $F (2, 4) = 14$ ，求k和b的值；

(2)、已知一次函数的图象经过点 $(2, 4)$ ，且 $F (m, m + 2) = 8$ ，证明： $m = 1$ ．

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14、2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表：
志愿服务次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次
频数（人数）
2
5
a
8
b
8
已知以下信息：
①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的 $10 %$ ；
②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的 $20 %$ ．
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表格中的 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数；

(3)、若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考．

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15、如图，某手工兴趣小组在正方形纸板 $A B C D$ 上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在 $B C$ 上取一点 $E$ ，连接 $A E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ ，交 $A E$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、请写出 $△ A B E ≌ △ B C F$ 的证明过程．

(2)、若正方形纸板的边长 $A B = 4$ ，且 $E$ 为 $B C$ 的中点，求线段 $G F$ 的长．

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16、以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程： $\frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 1}{3} = 1$ ．
小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 $3 (x + 1) - 2 (2 x - 1) = 1$
步骤②：去括号，得 $3 x + 3 - 4 x - 2 = 1$
步骤③：移项，得 $3 x - 4 x = 1 - 3 + 2$
步骤④：合并同类项，得 $- x = 0$
步骤⑤：系数化为1，得 $x = 0$

(1)、小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；

(2)、请写出该一元一次方程正确的解答过程．

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17、化简求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1) + 2 x$ ，其中 $x = 2$ ．

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 上一点，连接 $O D$ ，将 $△ A O D$ 沿 $O D$ 翻折，得到 $△ E O D, O E$ 交 $B C$ 于 $F$ 点， $E D$ 交 $A C$ 于 $G$ 点，交 $B C$ 于 $H$ 点，且 $E D ⊥ A C$ ．
（1）若 $O G = O F = 1$ ，则 $D G =$ ．
（2）若 $\frac{O G}{O F} = k$ ，则四边形 $O F H G$ 与 $△ G H C$ 的面积比为（用含 $k$ 的代数式表示）．

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19、古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如 $x^{2} + p x = q (p > 0, q > 0)$ 的方程，采用如下构造步骤：如图，
①作线段 $A B = p$ ，取 $A B$ 的中点 $D$ ，则 $D B = \frac{p}{2}$ ；
②过 $B$ 点作 $B E ⊥ A B$ ，使得 $B E^{2} = q$ ；
③以 $D$ 为圆心、 $D E$ 的长为半径作圆，交直线 $A B$ 于 $C$ ， $F$ 两点．该方程的正根为图中线段．

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20、不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} + 1 \geq 0 \\ 1 - x > 0 \end{array}$ 的解集是．

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志愿服务次数	1次	2次	3次	4次	5次	6次
频数（人数）	2	5	a	8	b	8