相关试卷

1、定义：将函数 $C$ 的图像绕点 $P (0, n)$ 旋转 $180 °$ ，得到新的函数 $C_{1}$ 的图像，我们称函数 $C_{1}$ 是函数 $C$ 关于点 $P$ 的相关函数．例如：当 $n = 1$ 时，函数 $y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2} + 3$ 关于点 $P (0, 1)$ 的相关函数为 $y = - \frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} - 1$ ．

(1)、当 $n = 0$ 时，①二次函数 $y = x^{2}$ 关于点 $P$ 的相关函数为________________ ．
②点 $A (2, 3)$ 在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a (a \neq 0)$ 关于点 $P$ 的相关函数的图象上，求 $a$ 的值．

(2)、函数 $y = - x^{2} + \frac{5}{3} \sqrt{2}$ 关于点 $P$ 的相关函数是 $y = x^{2} - \frac{7}{4} \sqrt{2}$ ，求点 $P$ 的坐标．

(3)、当 $\frac{3}{4} n - 1 \leq x \leq \frac{3}{4} n + 3$ 时，二次函数 $y = - 2 x^{2} + n x - \frac{9}{8} n^{2}$ 的相关函数的最小值为3，求n的值．

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2、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

(1)、不妨设该种品牌玩具的销售单价为 $x$ 元 $(x > 40)$ ，请你分别用 $x$ 的代数式来表示销售量 $y$ 件和销售该品牌玩具获得利润 $w$ 元，并把结果填写在表格中（结果要化到最简哦）：
销售单价（元）
$x$
销售量 $y$ （件）
销售玩具获得利润 $w$ （元）

(2)、在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价 $x$ 应定为多少元．

(3)、在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上， $△ A D E$ 与 $△ F D E$ 关于直线 $D E$ 对称，点 $A$ 的对称点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，连结 $B F$ 并延长交 $C D$ 于点 $G$ ，若 $F D$ 平分 $∠ A F G$ ，则 $\frac{B F}{A C}$ 的值为， $\tan ∠ A C D$ 的值为．

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4、已知二次函数 $y = - {(x - 2 m)}^{2} + m$ ，当 $0 \leq x \leq 3 m$ 时， $y$ 的最小值为 $n$ ，则 $n$ 的最大值为．

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5、如图，已知 $△ A B C$ 的两条中线 $A D$ ， $B E$ 交于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $A C$ 的平行线交 $B E$ 于点 $F$ ，若 $△ D F G$ 的面积为1，则 $△ A E G$ 的面积为．

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6、若3是 $x$ 和6的比例中项，则 $x$ 的值为

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7、如图，在 $△ B C P$ 中， $B P = 2$ ， $P C = 4$ ，现以 $B C$ 为边在 $B C$ 的下方作正方形 $A B C D$ 并连接 $A P$ ，则 $A P$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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8、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $O E = A E = 2$ ， $F$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 上一点， $C F$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，若 $F G > C G$ ，则 $B F$ 的长的范围为( )

A、 $4 < B F < 4 \sqrt{2}$ B、 $4 < B F < 4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2} < B F < 4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2} < B F < 8$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上， $D E ∥ B C$ ， $A F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $D E$ 与 $A F$ 交于点 $G$ ，若 $△ A D E$ 与四边形 $D B C E$ 的面积相等，则 $F G : A G$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $O$ 是角平分线 $A D$ ， $B E$ 的交点，若 $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，则 $\tan ∠ O B D$ 的值是(　　)

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果把 $Rt △ A B C$ 的各边的长都缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ ，则 $∠ A$ 的正切值（）．

A、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ B、扩大为原来的4倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ D、没有变化

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12、如果m ：n=1：2，那么下列各式中不成立的是（）

A、 $\frac{m + 1}{n + 1} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{n - m}{n} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{n}{m} = \frac{2}{1}$ D、 $\frac{n + m}{n} = \frac{3}{2}$

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13、
如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，将边 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $B$ 的对应点为 $D$ ，连接 $B D$ ，射线 $B D$ 与 $A C$ 边交于点 $E$ ，点 $F$ 在直线 $B D$ 上，连接 $A F$ ， $C F$ ，且 $∠ C F B = ∠ B A C$ ．设 $C F$ 的长为 $x (x > 0)$ ．
【初步感知】
（1）如图1，当 $α = 90 °$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长（用含 $x$ 的式子表示）；
【深入探究】
（2）如图2，嘉嘉说，当 $α \neq 90 °$ 时，（1）中的结果仍然成立，你认为嘉嘉的说法是否正确？请说明理由；
（3）当 $α \neq 90 °$ 时，求 $∠ A F D$ 的度数；
【拓展应用】
（4）若 $A B = B C = 6$ ，求 $△ B C F$ 面积的最大值．

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14、如图，抛物线 $L_{1} : y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{5}{2}$ 与 $x$ 轴交于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $P$ ，抛物线 $L_{2} : y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $M$ ， $P$ ．

(1)、求抛物线 $L_{2}$ 的函数解析式，并求出其顶点坐标；

(2)、若直线 $l : y = k x$ 与抛物线 $L_{1}$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与抛物线 $L_{2}$ 交于点 $C$ ， $D$ ，其横坐标分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，求证： $a + b + c + d = - 10$ ；

(3)、当 $t \leq x \leq 1$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $m \leq y_{2} \leq n$ ，且 $m + n = 5$ ，求 $t$ 的值．

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15、如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $3 cm$ ，弦 $A B$ 的长为 $4 \sqrt{2} cm$ ，点 $M$ 为 $⊙ O$ 上的一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $N$ 是平面内一点，以点 $A$ ， $M$ ， $B$ ， $N$ 为顶点作 $▱ A M B N$ ．

(1)、求点 $O$ 到 $A B$ 的距离；

(2)、若 $▱ A M B N$ 的一边与 $⊙ O$ 相切时．
①求 $B M$ 的长；
②当 $A N$ 与 $⊙ O$ 相切时，连接 $M N$ ，与 $A B$ 交于点 $P$ ，请直接写出 $\tan ∠ M P B$ 的值．

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16、控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了 $10 ℃$ 下营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）是营养素用量 $x$ （ $mg$ ）的一次函数（ $0 < x < 2$ ），部分数据如下表所示：
营养素用量x（ $mg$ ）
0.2
0.4
0.6
0.8
幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）
$1.2$
$1.6$
$2.0$
$2.4$

(1)、求出幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）与营养素用量 $x$ （ $mg$ ）的一次函数解析式；

(2)、当营养素的用量为 $1.2 mg$ 时，求幼苗的生长速度；

(3)、已知不使用营养素时，幼苗在 $10$ ℃下的生长速度为 $0.9$ $cm$ /天，假设该幼苗完全成熟时高度为 $37 cm$ ，现要在 $10 ℃$ 下使用营养素将该幼苗从 $10 cm$ 培育至完全成熟，且比不使用营养素早 $12$ 天完成，则营养素的用量应该为多少 $mg$ ？

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17、为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班级分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，主要以学科作业辅导为主；二班采用“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班学生的综合素质进行评分（满分10分）．
【数据收集与整理】
根据八年级一、二班学生综合素质评分绘制出不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）如图：
【数据分析与运用】
为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数进行了整理，结果如下表：

众数（分）
中位数（分）
平均数（分）
八年级一班
$m$
$n$
$8.025$
八年级二班
$8$
$8$
$p$
请你根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求八年级一、二班学生的总人数，并补全条形统计图；

(2)、直接写出表中 $m$ ， $n$ ， $p$ 的值；

(3)、在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有 $7$ 分、 $8$ 分、 $9$ 分、 $10$ 分四种，且中位数为 $8.5$ ，众数为 $9$ ，则评分为 $10$ 分的同学最多有多少人？

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18、对于分式 $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$ ，小李和小王分别使用如下方法化简：
小李： $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$\dots$
小王： $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$= [\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}] \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$\dots$

(1)、请你选择其中一种方法，补全化简过程；

(2)、从 $- 2 \leq x \leq 2$ 中选一个整数 $x$ ，求出分式的值．

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19、计算：

(1)、在做某一些计算问题时，逆用乘法分配律会使运算简便．
例如： $13 \times (- \frac{2}{5}) - 8 \times (- \frac{2}{5}) = - \frac{2}{5} \times (13 - 8) = - \frac{2}{5} \times 5 = - 2$ ．
请你逆用乘法分配律计算： $\frac{3}{7} \times (- 19) + \frac{3}{7} \times 5$ ．

(2)、 ${(- 2026)}^{0} - |3 - \sqrt{5}| + {(\sqrt{5})}^{2}$ ．

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20、蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由 $6$ 个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为 $1$ ，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点 $A$ 的距离记为 $d$ ，则当 $d = 1$ 时，图中满足条件的格点数为 $3$ ，分别为点 $B$ ， $C$ ， $D$ ，当 $\sqrt{3} < d < \sqrt{7}$ 时，图中满足条件的格点共有个．

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销售单价（元）	$x$
销售量 $y$ （件）
销售玩具获得利润 $w$ （元）

营养素用量x（ $mg$ ）	0.2	0.4	0.6	0.8
幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）	$1.2$	$1.6$	$2.0$	$2.4$

	众数（分）	中位数（分）	平均数（分）
八年级一班	$m$	$n$	$8.025$
八年级二班	$8$	$8$	$p$