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1、英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据．
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为 $100$ 分）分别为 $90$ 分， $93$ 分， $88$ 分．技艺实践能力由 $10$ 位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分 $\leq 10$ 分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象
评委打分的中位数
评委打分的众数
技艺实践能力成绩
方差
甲
$8$
$8$
$80$
$c$
乙
$8$
$b$
$81$
$1.29$
丙
$a$
$8$
$82$
$1.36$

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由．

(3)、为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占 $35 %$ ，技艺实践能力成绩占 $65 %$ 的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？

(4)、如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重．

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2、问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点 $P$ 为 $⊙$ 上一点，先作射线 $P O$ 交 $⊙$ 于点 $Q$ ，再以 $⊙$ 上一点 $A$ 为圆心（点 $A$ 不与点 $P$ 、 $Q$ 重合），以 $A P$ 长为半径画圆弧，交射线 $P Q$ 于点 $B$ ，交射线 $B A$ 于点 $C$ ，连接 $P C$ ．

(1)、【推理证明】小明认为此时 $P C$ 是 $⊙$ 的切线．请你帮小明写出证明过程；

(2)、【数值计算】若 $\sin ∠ B C P = \frac{4}{5}$ ， $A P = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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3、近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度 $A B = 4 m$ ，顶部高度 $h = 2 m$ ，在图1中以 $A B$ 所在直线为x轴， $A B$ 的中点为原点，建立平面直角坐标系．

(1)、求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；

(2)、每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度 $C E = 0.72 m$ ，宽度 $C D = 0.5 m$ ，若在帐篷内沿 $A B$ 所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边 $B C$ 的中线 $A O$ ；
②再作点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点 $D$ ，并连接 $B D$ 、 $C D$ ；

(2)、【推理证明】求证：四边形 $A B D C$ 是菱形．

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5、计算： $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \tan 60 °$ ．

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6、计算： $\sqrt{\underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} \times \underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} + 1 \underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}}} =$ ．（结果用乘方表示）

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7、钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位： $Hz$ ）与琴弦的张力调节系数 $x$ 满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 $x$
…
1
2
3
4
…
振动频率 $f$ （ $Hz$ ）
…
429
432
435
438
…
已知钢琴标准音高为 $440 Hz$ ，此时琴弦的振动频率为 $430 Hz$ ，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．

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8、如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径 $r$ 为 $6 cm$ ，高 $h$ 为 $8 cm$ 的圆锥体，那么这个扇形的面积是 ${cm}^{2}$ ．

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9、2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为．

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10、分式方程 $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$ 的解是 $x =$ ．

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11、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A, B, C, D, E$ 都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（）

A、 $A D = B D$ B、 $B C ∥ D E$ C、 $∠ A = ∠ A B E$ D、 $∠ D E A = ∠ B E C$

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12、如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则 $∠ α$ 的度数为（）

A、 $64 °$ B、 $84 °$ C、 $94 °$ D、 $98 °$

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13、如图 $1$ 是 $2026$ 年 $5$ 月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图 $2$ 形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则 $m$ 与 $n$ 的数量关系是（）

A、 $m - n = 8$ B、 $n - m = 8$ C、 $m - n = 9$ D、 $n - m = 9$

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14、已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} =$ （）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $2 \sqrt{10}$

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15、如果圆的半径是 $6 cm$ ，圆心到直线的距离是 $8 cm$ ，那么直线与圆的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不能确定

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16、实数 $a, b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $|a| > |b|$ B、 $- a < b$ C、 $- 3 a < - 3 b$ D、 $a > - 1$

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17、下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、不等式组 $\{\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ x < 3 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1.4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为（）

A、 $1.4298 \times 10^{10}$ B、 $1.4298 \times 10^{11}$ C、 $1.4298 \times 10^{12}$ D、 $1.4298 \times 10^{13}$

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20、下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、斐波那契螺旋线 C、阿基米德螺线 D、笛卡尔心形线

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