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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时开始移动，点 $P$ 的速度为 $1 cm / s$ ，点 $Q$ 的速度为 $2 cm / s$ ．当点 $Q$ 移动到点 $C$ 时，点 $P$ 也随之停止移动．若 $△ P B Q$ 和 $△ A B C$ 相似，则点 $P$ 移动的时间为（）

A、 $\frac{24}{11}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{24}{11}$ 或 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$

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2、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - \sqrt{2 + 3 k} x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 6$ B、 $k < 6$ 且 $k \neq 1$ C、 $- \frac{2}{3} \leq k < 6$ D、 $- \frac{2}{3} \leq k < 6$ 且 $k \neq 1$

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3、先化简，再求值： $\frac{1}{2} x - 2 (x - \frac{1}{3} y^{2}) + (- \frac{3}{2} x + \frac{1}{3} y^{2})$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{2}{3}$ ．

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4、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是射线 $C B$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），以 $A D$ 为一边在 $A D$ 的右侧作 $△ A D E$ ，使 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图1，当点D在线段 $C B$ 上时， $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是．

(2)、在（1）的条件下，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，那么 $∠ D C E =$ 度．

(3)、设 $∠ B A C = α$ ， $∠ D C E = β$ ．
①如图2，当点D在线段 $C B$ 上， $∠ B A C \neq 90 °$ 时，请探究 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段 $C B$ 的延长线上， $∠ B A C \neq 90 °$ 时，请将图3补充完整并直接写出此时 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．

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5、已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ E + ∠ F = 105 °$ ，将 $△ D E F$ 按一定方式摆放，使 $∠ D$ 的两条边分别经过点 $B$ 和点 $C$ ．

(1)、若将 $△ D E F$ 按如图1所示方式摆放，则 $∠ A B D + ∠ A C D$ 的度数；

(2)、若将 $△ D E F$ 按如图2所示方式摆放，求 $∠ A B D + ∠ A C D$ 的度数．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ B D C = 70 °$ ．

(1)、求 $∠ A B D$ 的度数；

(2)、求 $∠ C$ 的度数．

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7、已知：如图， $A B ∥ E D, A B = D E$ ，点 $F$ ，点 $C$ 在 $A D$ 上， $A F = D C$ ．求证： $B C ∥ E F$ ．

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8、如图， $A$ 点坐标为 $(- 2, 5)$ ．

(1)、在平面直角坐标系中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 的坐标， $A_{1}$ ______， $B_{1}$ ______， $C_{1}$ ______；

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9、如图，在 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $P$ ，过 $P$ 作 $P F ⊥ A D$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ．现有下列结论：① $∠ A P B = 135 °$ ；② $△ A B P ≌ △ F B P$ ；③ $∠ A H P = ∠ A B C$ ；④ $A H + B D = A B$ ．其中所有正确结论的序号为．

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10、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, C D = 2$ ， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ， $D E$ ， $A E ⊥ D E$ ．则 $A D =$ ．

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11、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，若 $∠ D A E = 45 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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12、如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得 $A E = A F$ ， $D E = D F$ ，则 $△ A D E ≌ △ A D F$ 的依据是．（在 $SSS$ 、 $SAS$ 、 $ASA$ 或 $AAS$ 选填）

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13、如图，E、F是长方形纸片 $A B C D$ 边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线 $E F$ 进行折叠， $A B$ 边的对应边 $A^{'} B^{'}$ 交 $A D$ 边于G点，若 $∠ G E F = α$ ，有如下结论：① $∠ A E F = 180 ° - α$ ；② $∠ E F B = α$ ；③ $∠ 1 = 180 ° - 2 α$ ；④ $∠ A^{'} E D = ∠ 1 = ∠ 2$ ；⑤ $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．其中正确的结论有（　　）

A、①②④⑤ B、①②③⑤ C、①②③④ D、①②③④⑤

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14、如图， $B P$ 是 $∠ A B C$ 的平分线， $C P$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C M$ 的平分线， $∠ A B P = 20 °$ ， $∠ A C P = 50 °$ ，则 $∠ P =$ （）．

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $25 °$ D、 $40 °$

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15、如图， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $B D ⊥ A E$ 于D， $C E ⊥ A E$ 于E，且 $B D > C E$ ．若 $E C = 2$ ， $E D = 3$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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16、如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　）

A、画出三角形三条角平分线的交点 B、画出三角形三条高线的交点 C、画出三角形三条垂直平分线的交点 D、画出三角形三条中线的交点

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17、下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　）

A、∠A＝30°，∠B＝60° B、∠A＝40°，∠B＝80° C、∠A＝50°，∠B＝65° D、∠A＝60°，∠B＝70°

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18、2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中 $A B ⊥ C D$ ，现添加以下条件，不能判定 $△ A B C ≌ △ A B D$ 的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A B D$ B、 $∠ A C B = ∠ A D B$ C、 $A C = A D$ D、 $B C = B D$

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19、现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（）．

A、 $△ A B C$ 的三条中线的交点 B、 $△ A B C$ 三条角平分线的交点 C、 $△ A B C$ 三边的垂直平分线的交点 D、 $△ A B C$ 三条高所在直线的交点

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20、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为 $A (m, 0)$ 、 $B (0, n)$ ，且 $|m - 2 \sqrt{3}| + {(n - 2)}^{2} = 0$ ， $∠ O A B = 30 °$ ．点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线 $A O$ 匀速运动，设点P运动时间为t秒．

(1)、 $O A =$ ， $O B =$ ．

(2)、连接 $P B$ ，若 $△ P O B$ 的面积为3，求t的值；

(3)、在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使 $△ A B P$ 为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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