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1、如图．在 $△ A B C$ 中， $B C = 10$ ， $∠ B = ∠ B A C = 15 °$ ， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 42 °$ ， $∠ A = 78 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，按照下列步骤作图：①以点 $C$ 为圆心，小于 $C D$ 长为半径作弧，分别交 $B C$ ， $D C$ 于点 $E$ ， $F$ ；②以点 $D$ 为圆心， $C F$ 为半径作弧，交 $D C$ 于点 $G$ ；③以点 $G$ 为圆心， $E F$ 为半径作弧，与②中所作的弧相交于点 $H$ ，作射线 $D H$ 交 $A C$ 于点 $I$ 则 $∠ A I D$ 的大小是（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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3、下列命题是真命题的是（）

A、直角三角形两锐角互补 B、周长相等的两个等腰三角形全等 C、如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D、角的平分线上的点到角两边的距离相等

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4、已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（）

A、11 B、14 C、19 D、14或19

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5、如图， $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 延长线上一点，则 $x$ 的值为（）

A、 $55 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的高是（）

A、线段 $C D$ B、线段 $A B$ C、线段 $B E$ D、线段 $A E$

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7、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知三角形三边的长分别是3，7， $a$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $4 < a < 10$ B、 $3 < a < 10$ C、 $4 < a < 6$ D、 $3 < a < 14$

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9、（传统风俗情境·春节贴福）春节贴“福”字，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿．每逢新春佳节，家家户户都要在屋门上、墙壁上、门楣上贴上大大小小的“福”字，春节贴“福”字，是民间由来已久的风俗．如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀沿虚线剪开，制作成如图2所示的新年挂图．

(1)、用含x、y的式子表示正方形纸片的周长．

(2)、当 $x = 1$ 分米， $y = 4$ 分米时，求李明剪掉部分的面积．

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10、已知 $a$ 、 $b$ 互为相反数， $c$ 、 $d$ 互为倒数， $x$ 的绝对值是3，试求 $x^{2} - (a + b + c d) x + {(a + b)}^{2019} + {(- c d)}^{2020}$ 的值．

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11、请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
$1$ ， $0.0708$ ， $- 700$ ， $- 3.88$ ， $0$ ， $3.14$ ， $- \frac{7}{23}$ ， $0 . \dot{2} \dot{3}$ ．
正有理数集合：{                              …}，
正分数集合：{                            …}，
非负整数集合：{                            …}．

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12、计算：

(1)、 $- 1^{2} + \frac{1}{4} \times {(- 2)}^{3} + {(- 3)}^{2}$

(2)、 ${(- 1)}^{4} \times [4 - {(- 3)}^{2}] + 3 \div (- \frac{3}{4})$

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13、某同学在银行存入 $1000$ 元，记为 $+ 1000$ 元，则支出 $600$ 元，记为元．

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14、下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（）

A、《朝花夕拾》的总页数一定，已读的页数与未读的页数 B、计划用50元购买笔记本和签字笔，购买笔记本的金额与购买签字笔的金额 C、圆柱的体积为 $20 m^{3}$ 时，圆柱的底面积与高 D、时间一定，路程与速度

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15、下列说法中，正确的是（）

A、近似数 $117.08$ 精确到十分位 B、按科学记数法表示的数 $5.04 \times 10^{5}$ ，其原数是50400 C、 $- 250000$ 用科学记数法表示为 $- 2.5 \times 10^{5}$ D、用四舍五入法得到的近似数 $8.1750$ 精确到千分位

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16、多项式 $3 a^{3} b + a b^{2} - a b$ 的次数及项数分别是（）

A、4，3 B、4，2 C、2，3 D、2，2

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17、对于“ $x 、 y$ 两数之和的平方的2倍”，下列用代数式表示正确的是（）

A、 $2 x^{2} + y^{2}$ B、 ${(2 x + y)}^{2}$ C、 $2 {(x + y)}^{2}$ D、 $2 (x + y)$

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18、在 $- 2^{2}$ ， ${(- 2)}^{2}$ ， $- (- 2)$ ， $- |- 2|$ ， $- |0|$ 中，负数的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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19、 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．

(1)、【已有认识】 $\sqrt{2}$ 既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即 $\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ ，由此得到在数轴上寻找 $\sqrt{2}$ 所表示的点的方法，如图1．
【拓展运用】如图2，点 $O$ 、点 $A$ 在数轴上，且 $O A = 2$ ， $A B = 1$ ， $A B ⊥ O A$ 于 $A$ ，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交数轴于点 $P$ ，则数轴中点 $P$ 表示的数是．（直接写出答案）

(2)、【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的 $△ A B C$ ，其中 $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，并求出 $△ A B C$ 的面积，以及点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

(3)、【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中 $A$ 、 $B$ 两点的距离，显然是转化为求 $R t$ △ $A B C$ 的斜边长．下面以求 $D E$ 为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： $D (- 1, - 4), E (6, - 2)$ ，
所以 $D F = |6 - (- 1)| = 7, E F = |- 2 - (- 4)| = 2$ ，
所以由勾股定理可得， $D E = \sqrt{7^{2} + 2^{2}} = \sqrt{53}$ ．
【拓展运用】①在图5中，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ，则 $A C =$ _________， $B C =$ _________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ （直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点 $M (- 3, 4), N (- 6, 1)$ ， $P$ 为 $x$ 轴上任一点，则 $P M + P N$ 的最小值为________；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ 的最小值为：________．（直接写出答案）

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