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1、定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数 $231$ ，因为 $3 - 1 = 2$ ，所以它是“极差数”．

(1)、【理解定义】
三位数 $265$ 是否为“极差数”？．

(2)、【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为 $a, b, c$ ，则 $a$ 与 $b, c$ 的关系式为；

(3)、任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？

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2、如图，点 $P$ 在直线 $l$ 外．
①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，连接 $A P$ ；
②以点 $A$ 为圆心， $A P$ 长为半径画弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ；
③分别以点 $P$ 和点 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B P$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A P$ 内交于点 $Q$ ，作射线 $A Q$ ；
④以点 $P$ 为圆心， $P A$ 长为半径画弧，交射线 $A Q$ 于点 $C$ ；
⑤连接 $C B, C P$ ．

(1)、由②得 $A P$ 与 $A B$ 的数量关系是；由③得到的结论是．

(2)、求证：四边形 $A B C P$ 是菱形．

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3、化简求值： $(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ ．

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4、计算： $| 1 - \sqrt{8} | - 4 s i n 30 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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5、如图，在单位长度均为 $1 c m$ 的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图 $O A B C$ 的边 $O A, O C$ 在坐标轴上，点 $B$ 坐标为 $(24, - 10)$ ．将一根长度为 $14.6 c m$ 的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 $c m$ (结果保留整数， $π$ 取3，壁厚忽略不计)．

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6、编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行 $n$ 步后右转 $15 °$ ，沿转后方向直行 $n$ 步后右转 $15 °$ ，再沿转后方向直行 $n$ 步后右转 $15 °$ …，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了步．

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7、一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 $y^{x} =$ ．

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8、如图，⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆， $∠ A = 54 °$ ，则 $∠ B O C =$ $°$ ．

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9、不等式组 ${\begin{array}{l} 1 + 2 x < 5 \\ \frac{x - 1}{2} \leq 2 \end{array}$ 的解集是．

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10、为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为．

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11、如图，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = k_{2} x + b_{2}$ 交于点 $A$ ，则关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{array}$ 的解是．

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12、老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为 $E F$ ，点 $A$ ， $B$ 是水平地面上两点，且与点 $E$ ， $F$ 均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（）

A、 $C H$ 的长， $∠ E D H$ 的度数 B、 $A B$ 的长， $∠ E C H$ 的度数 C、 $C H$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数 D、 $A B$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数

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13、函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的部分图象如图所示，点 $A$ 在 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A B ∥ y$ 轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，交 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象于点 $B$ ．若 $A C = 3 B C$ ，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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14、下列判断正确的是（）

A、若点 $P (a, b)$ 关于 $x$ 轴的对称点在第二象限，则 $b < 0$ B、夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C、4的平方根是2 D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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15、《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，羊价为 $y$ 钱，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$

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16、如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）

A、主视图不变 B、左视图不变 C、俯视图不变 D、三种视图都不变

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17、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$

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18、如图，直线 $l_{1}, l_{2}$ 被直线 $l_{3}$ 所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，需要的条件是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 4$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$

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19、如图，数轴上点 $A$ 表示的数可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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20、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的对称轴为 $y$ 轴，且过坐标原点 $O$ 及点 $A (2 \sqrt{3}, 3)$ ，过点 $A$ 作射线 $A M$ 平行于 $y$ 轴（点 $M$ 在点 $A$ 上方），点 $F$ 坐标为 $(0, 1)$ ，连接 $A F$ 并延长交抛物线于点 $E$ ，射线 $A B$ 平分 $∠ F A M$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $T$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、判断直线 $l$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的公共点的个数，并说明理由；

(3)、点 $P (m, 0)$ 为 $x$ 轴上的一个动点，且 $∠ A P E$ 为钝角，请直接写出实数 $m$ 的取值范围．

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