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1、2025年11月第十五届全运会由粤港澳大湾区三地联合成功举办．下列体育运动项目的图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作可以得到一个公式：．

(2)、利用你得到的公式，计算： $202 5^{2} - 2024 \times 2026$ ．

(3)、计算： $4050 \times (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{202 4^{2}}) (1 - \frac{1}{202 5^{2}})$ ．

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3、如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ ， $A B = A D ， ∠ B A D = ∠ C A E ， ∠ B = ∠ D ， A D$ 与 $B C$ 交于点P ，点C在 $D E$ 上．

(1)、试说明： $B C = D E$ ；

(2)、若 $∠ B = 30 ° ， ∠ A P C = 70 °$ ．求 $∠ E$ 的度数．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C, A E$ 平分 $∠ B A C, ∠ B = 70 °, ∠ C = 30 °$ ．

(1)、则 $∠ B A E =$ ；

(2)、求 $∠ D A E$ 的度数．

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5、如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ 、 $B (4, 2)$ 、 $C (3, 4)$ ．

(1)、在图中作出△ABC关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、点B关于x轴的对称点为点D ，点E为x轴上一点，且 $S_{△ B D E} = 6$ ，则E点坐标为．

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6、先化简，再求值： $(1 + \frac{3}{x - 5}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x - 10}$ ，其中 $x = 6$ ．

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7、因式分解： $m^{2} (n - 2) - 25 (n - 2)$ ．

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8、计算： ${(x + 1)}^{2} - (x + 2) (x - 2)$ ．

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点 $O$ ， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线相交于点 $D$ ，与 $∠ A B C$ 的外角平分线相交于点 $E$ ，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）
① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ E = ∠ A$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$

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10、若 $a^{m} = 2 ， a^{n} = 3 ，$ 则 $a^{m - n} =$ ．

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11、已知等腰三角形的顶角是 $40 °$ ，则它的一个底角的度数是．

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12、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，在 $A B, C B$ 上分别取点M ， N ，且 $A M = B N = 4, D N = 2$ ，在 $A D$ 上有一动点P ，则 $P M + P N$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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13、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交 $A C$ ， $A B$ 于D ， E两点，再分别以D ， E为圆心，大于 $D E$ 的长为半径画弧，两弧交于点M ．作射线 $A M$ 交 $B C$ 于点F ，若 $B F = 5$ ， $B C = 9$ ，则点F到 $A B$ 的距离为（）

A、3 B、4 C、4.5 D、5

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14、如图，已知两个三角形全等，则 $∠ α$ 的大小为（）

A、 $52 °$ B、 $58 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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15、如图，已知 $∠ A O B$ ，点 $P$ 为 $O A$ 上一点，根据尺规作图的痕迹，小明判断 $P M ∥ O B$ ．他得出这一结论的依据是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、同位角相等，两直线平行 C、内错角相等，两直线平行 D、同旁内角互补，两直线平行

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16、下列计算正确的是（）

A、 $b^{3} \cdot b^{3} = 2 b^{3}$ B、 ${(a b^{2})}^{3} = a b^{6}$ C、 ${(a^{5})}^{2} = a^{7}$ D、 $a^{6} \div a^{4} = a^{2}$

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17、【综合与实践】
【问题情景】如图，O为直线 $A B$ 上的一点，过点O作射线 $O C$ ，使得 $∠ A O C : ∠ B O C = 3 : 1$ ，将直角三角板的直角顶点放在点O处， $∠ N = 30 °$ ，一边 $O M$ 在射线 $O B$ 上，另一边 $O N$ 在直线 $A B$ 的下方．
【独立思考】

(1)、在图1中， $∠ B O C$ 的度数为．

(2)、【实践探究】
将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得 $O M$ 在 $∠ B O C$ 的平分线上，求 $∠ B O N$ 的度数．

(3)、【拓展探究】
将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得 $O M$ 在 $∠ B O C$ 的内部，试猜想 $∠ B O N - ∠ C O M$ 的度数，并说明理由．

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18、某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为

50 %

；乙种商品每件进价50元，售价80元．

(1)、甲种商品每件进价为元，乙种商品的利润率为；

(2)、若该商场同时购进甲、乙两种商品共46件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？

(3)、在“元旦”期间，该商场针对甲，乙两种商品进行如下优惠促销活动：

一次性购物总金额	优惠措施
不超过500元	不优惠
超过500元，但不超过800元	不超过500元的部分不打折，超过500元的部分打8折优惠
超过800元	不超过500元的部分不打折，超过500元但不超过800元的部分打8折，超过800元的部分打6折

按上述优惠条件，若小艺一次性购买甲，乙两种商品实际付款1100元，请问小艺所购买的甲、乙两种商品在打折前应付款多少元？

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19、定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $0$ ，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 $- 2 x = 4$ 和 $x - 2 = 0$ 为“美好方程”．

(1)、请判断方程． $4 x + 5 = - x$ 与方程 $6 x - 3 = x + 2$ 是否为“美好方程”，请说明理由；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 1}{2} = - 2$ 与方程 $a - \frac{x + 2}{5} = 1$ 是“美好方程”，求 $a$ 的值．

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20、如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题：

(1)、如果面B在长方体的上面，那么下面是面．

(2)、如果从上面看是面E ，从前面看是面C ，那么从右面看是面．

(3)、如果A面的长为 $5 c m$ 、宽为 $3 c m$ ， D面的宽为 $1 c m$ ，那么这个长方体的表面积是多少？

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