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1、如图，正方形ABCD的边长为3，将长为 $2 \sqrt{3}$ 的线段QF的两端点放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（）

A、 $\sqrt{62}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{67}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

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2、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连结AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则AG·GB=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图①，将矩形纸片AB-CD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连结B'E，B'C，D'F.

(1)、【初步猜想】确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.
创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：
由折叠的性质可知 $∠ D B^{'} F = ∠ C B^{'} F = \frac{1}{2} ∠ D B^{'} C, ∠ E C B^{'} = ∠ E C B = \frac{1}{2} ∠ B C B^{'} .$
由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C=∠BCB'，∴① ， ∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②.
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到.B'E=CF，再由.B'E=BE可得结论；
方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造□CFB'G，然后证.B'G=B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.

(2)、【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.

(3)、【尝试运用】如图②，在矩形ABCD中，AB=6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，连结D'G，当△B'D'G为直角三角形时，求BE的长.

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4、【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E，F将这组对边两等分.如何将矩形纸片的边三等分呢?
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P.

(1)、求证： $C P = \frac{1}{3} C A;$

(2)、将矩形纸片ABCD折叠，折痕过点P，折痕交CD于点G，且 $C G = \frac{1}{3} C D$ （要求：在图中画出折痕）.

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5、如图，在⊙O中，将 $\hat{A B}$ 沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC.若AC=4， $t a n ∠ C A B = \frac{1}{3},$ 则AB的长为.

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6、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，E是边AB上的一点，点B与点B'关于直线DE对称，点B'恰好在边AC上，连结BB'，则BB'的长是.

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7、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC在x轴上，OA在y轴上，点B（4，3），D是OC上一点，把△BDC沿BD翻折，点C落在OB上的点E处，DF⊥OC交OB于点F，则点F的坐标是.

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8、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A'处，A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的点C'处，下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ 1 = 4 5^{\circ} - α$ B、∠1=α C、 $∠ 2 = 9 0^{\circ} - α$ D、∠2=2α

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9、如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，∠A=30°，E是DC上一点，把△BCE沿BE翻折得到△BFE，其中点C的对应点为F，且BF⊥AB，则BE的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使边AD落在对角线DB上，折痕为DG，则△DBG的面积为（）

A、30 B、15 C、24 D、16

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11、【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形，点M，N分别在边CD，BC上，且 $∠ M A N = 4 5^{\circ},$ 我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.

(1)、【初步尝试】如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连结MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系：；

(2)、【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图②，点M，N分别在正方形AB-CD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连结MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN= $6 0^{\circ},$ ，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由.

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 4 5^{\circ}, A D ⊥ B C$ ，垂足为D.若BD=6，CD=4，求高线AD的长.

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13、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E，F分别在BC，CD上.若 $A E = \sqrt{5}, ∠ E A F = 4 5^{\circ},$ 则AF的长为

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14、如图，点A（3，0），P是y轴正半轴上的一个动点，△ABP是等腰直角三角形，∠BAP=90°，C是点P正上方一点，连接BC.若∠BCP=45°，则PC的长为.

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15、如图，直线y=2x-2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，直线BC与x轴正半轴交于点C.若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式是.

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16、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BD是矩形的对角线，E为射线BC上一动点，连结AE交BD于点O，连结OC.

(1)、当∠BAE=45°时，求 $\frac{O E}{O A}$ 的值以及△EOC的面积；

(2)、在点E的运动过程中，满足△OCD是以OC为腰的等腰三角形时，求tan∠BAE；

(3)、当EC的长为多少时，以O，E，C，D为顶点的四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分?

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17、已知△ABC的面积是1.

(1)、如图①，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为；

(2)、如图②，若M，N分别是边BC和AC上距离点C最近的六等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为

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18、如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与 $\hat{A B}$ 交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是.

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19、如图，E是□ABCD内一点，连结AE，BE，CE，DE，过点A作AF∥BE，过点D作DF∥CE交AF于点F.若▱ABCD的面积为24，则四边形AEDF的面积为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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20、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，过点B作BF⊥AD于点F，与AC相交于点G.已知GE=2，AG=5，则当ED=EC时，下列三角形中，面积一定能求出的是（）

A、△BCE B、△CDE C、△BFD D、△ABD

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