相关试卷

1、“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图，由两个全等的矩形AB-HC和矩形BDJE，与一个小正方形EFGH剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上.若AD=7，EF=1，则拼补后的正方形CBJK的边长为（）

A、5 B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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2、如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”.它是由4个全等的直角三角形△ABH，△BCE，△CDF，△DAG和一个小正方形EFGH拼接而成的大正方形ABCD.已知直线FH分别交边BC，AD于点M，N.若F，H是线段MN的三等分点，则大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积比为.

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3、如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形.

(1)、连结BF，若F恰为AG的中点，则∠BFG的度数为°；

(2)、连结CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF=2，则AF的长为.

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4、对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，每个方格中的点数分别代表对应的数字，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15.如图②是一个没有填完整的幻方，如果它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数的和都相等，那么左上角方格中的数字为（）

A、4 B、3 C、1 D、-3

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5、我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是 ${\begin{matrix} x + 4 y = 10, \\ 6 x + 11 y = 34 . \end{matrix}$ 类似地，表述图②所示的算筹图的方程组是（）

A、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 7, \\ x + 3 y = 11 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 12, \\ x + 3 y = 6 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 12, \\ x + 3 y = 11 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 7, \\ x + 3 y = 6 \end{matrix}$

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6、幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 $x^{y} =$

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7、如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.
画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.

(1)、请根据上述画法分别在图①和图②中标出格点P，连结BP；

(2)、从两种画法中选择一种，证明BP平分∠ABC.

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8、图①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：

(1)、在图①中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；

(2)、在图②中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且点D，E在格点上.

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9、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形的边长均为1.请借助网格和无刻度的直尺按要求作图：

(1)、在图①中，作出△ABC的中线CD；

(2)、在图②中，作出△ABC的重心，记为点O.

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10、如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.

(1)、如图①，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC=2∠A；

(2)、如图②，在线段AC上找一点Q，使得AQ：CQ=1：2；

(3)、如图③，在△ABC的边AC上找出中点G，并过点G作AC的垂线.

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11、仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法：

(1)、如图①，在4×4的正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC=AB；

(2)、如图②，在4×4的正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）；

(3)、如图③，在▱ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）.

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12、小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①作∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径作弧，两弧交于点C；④连结BC，DC.

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、连结BD，若BD=2cm，求四边形ABCD的面积.

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13、小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图①，在□ABCD中，AB<BC，∠B=66°.用直尺和圆规作∠ECB=66°，E是边AD上一点.
小红：如图②，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连结CE，则∠ECB=66°.
小明：如图③，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连结CE，则∠ECB=66°.

(1)、填空：判断他们的作图方法是否正确：（填“正确”或“错误”）
①小红的作法；
②小明的作法.

(2)、请从（1）中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）

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14、小明研究一道尺规作图题：作△ABC的边BC上的高线.他的作法如下：如图，在△ABC中，AB>AC，以点A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ CD的长度为半径作弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线.

(1)、你是否同意小明的作法?若同意，请给出证明；若不同意，请说明理由.

(2)、若 $A B = 5, A C = \sqrt{13}, C F = 2$ ，求△ABC的面积.

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15、如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：

(1)、利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长.

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16、尺规作图问题：
如图，在□ABCD中，P是对角线BD上一点（BP<PD），连结AP，请按要求解决下列问题：

(1)、用无刻度的直尺和圆规在对角线BD上求作点Q，连结CQ，使得CQ//AP；（保留作图痕迹，不必写作法）

(2)、依据你的作图，请说明CQ//AP成立的理由。（要求写出推理过程）

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17、【学习心得】学习完《圆的基本性质》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以变得很容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

(1)、①类型一，“定点+定长”.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，则∠BDC的度数为.
②类型二，“定角+定弦”.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB= ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上.易求得CP长的最小值为.

(2)、【问题解决】
如图③，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连结AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为.

(3)、【问题拓展】
如图④，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连结AE，DF，交于点P.
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.

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18、如图，在四边形AB-CD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC和BD交于点E.若AE=4，CE=2，则BD长的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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19、

(1)、如图F12-5，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长的最小值为.

(2)、如图F12-6，在▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10，E为边CD的中点，F为边AD上一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连结AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为.

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20、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点B'，在点D从点B运动到点C的过程中，点B'的运动路径长为.

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