相关试卷

1、如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650 m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

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2、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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3、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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4、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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5、如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为 $21 c m^{2}$ 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．

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6、定义新运算： $a \otimes b = \{\begin{matrix} a^{2} - b (a \leq 0) \\ - a + b (a > 0) \end{matrix}$ 例如： $- 2 \otimes 4 = (- 2)^{2} - 4 = 0$ ， $2 \otimes 3 = - 2 + 3 = 1$ ．若 $x \otimes 1 = - \frac{3}{4}$ ，则 $x$ 的值为．

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7、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c =$ .

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8、规定：对于任意实数a、b、c ，有【a ， b】★c＝ac+b ，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x ， x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　）

A、m $＜ \frac{1}{4}$ B、m $＞ \frac{1}{4}$ C、m $＞ \frac{1}{4}$ 且m≠0 D、m $＜ \frac{1}{4}$ 且m≠0

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9、若一个含根号的式子 $a + b \sqrt{x}$ 可以写成 $m + n \sqrt{x}$ 的平方 $($ 其中 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 都是整数， $x$ 为正整数 $)$ ，即 $a + b \sqrt{x} = (m + n \sqrt{x})^{2}$ ，则称 $a + b \sqrt{x}$ 为完美根式． $m + n \sqrt{x}$ 是 $a + b \sqrt{x}$ 的完美平方根 $.$ 例如：因为 $19 - 6 \sqrt{2} = (1 - 3 \sqrt{2})^{2}$ ，所以 $1 - 3 \sqrt{2}$ 是 $19 - 6 \sqrt{2}$ 的完美平方根．

(1)、已知 $2 \sqrt{3} - 3$ 是 $a - 12 \sqrt{3}$ 的完美平方根，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m + n \sqrt{7}$ 是 $a + b \sqrt{7}$ 的完美平方根，用含 $m$ ， $n$ 的式子表示 $a$ ， $b$ ．

(3)、已知 $22 - 12 \sqrt{2}$ 为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

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10、如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 $- \sqrt{2} .$ 设点 B所表示的数为m.

(1)、m 的值是.

(2)、求 $| m + 1 | + | m - 1 |$ 的值.

(3)、在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 $| 2 c + d |$ 与 $\sqrt{d + 4}$ 互为相反数，求2c-3d的平方根.

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11、喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数， $\sqrt{1 \times 4} = 2, \sqrt{1 \times 9} = 3, \sqrt{4 \times 9} = 6,$ 其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.

(1)、请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.

(2)、已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.

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12、我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 $- 1,$ 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 $P^{'} .$ 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点 $A^{'}, B^{'} .$

(1)、如图，若点 A 对应的数是 $- 2,$ 则点 $A^{'}$ 对应的数 $x =$ ；若点 $B^{'}$ 对应的数是 $\sqrt{3} + 2,$ 则点B 对应的数 $y =$ .

(2)、在(1)的条件下，求代数式 $\sqrt{\frac{1}{x}} - (y + \frac{1}{2})$ 的值.

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13、计算：

(1)、 $\sqrt{16} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} \times {(π - 1)}^{0} - {(- 1)}^{2013} + \sqrt[3]{- 27}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

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14、计算：

(1)、 $\sqrt{75} - {(2025 - π)}^{0} - |\sqrt{3} - 2|$

(2)、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - (\sqrt{7} - \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$

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15、设 $S = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^{2}} + \frac{1}{2025^{2}}}$ ，则与 $S$ 最接近的整数是．

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16、如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $a$ ，化简 $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{{(a - 5)}^{2}}$ 的值是．

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17、某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如， $(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ ， $(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) = 10$ ．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲： $\frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ ；乙：设有理数a ， b满足： $\frac{a}{\sqrt{2} + 1} + \frac{b}{\sqrt{2} - 1} = - 6 \sqrt{2} + 4$ ，则 $a + b = 6$ ；
丙： $\frac{1}{\sqrt{2022} - \sqrt{2021}} > \frac{1}{\sqrt{2020} - \sqrt{2019}}$ ；丁：已知 $\sqrt{43 - x} - \sqrt{11 - x} = 4$ ，则 $\sqrt{43 - x} + \sqrt{11 - x} = 6$ ；
戊： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{99 \sqrt{97} + 97 \sqrt{99}} = \frac{33 - \sqrt{11}}{66}$ .以上结论正确的有（　　）

A、甲丙丁 B、甲丙戊 C、甲乙戊 D、乙丙丁

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18、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O ， E ， F$ 分别是 $O B ， O D$ 的中点，连接AE ， $A F ， C E ， C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B ⊥ A C ， A B = 3 ， B C = 5$ ．求 $B D$ 的长．

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19、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，要在对角线 $B D$ 上找点 $E$ ， $F$ ，分别连接 $A E$ ， $C E$ ， $C F$ ， $A F$ ，使四边形 $A E C F$ 为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（　　）
甲方案：只需要满足 $B F = D E$ ；乙方案：只需要满足 $A E ∥ C F$ .

A、只有甲方案正确 B、只有乙方案正确 C、甲、乙方案都正确 D、甲、乙方案都不正确

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的是（　　）

A、 $A B ∥ C D, A D ∥ B C$ B、 $A D ∥ B C, A B = C D$ C、 $O A = O C, O B = O D$ D、 $A B = C D, A D = B C$

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