相关试卷

1、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是．

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2、根据以下信息，探索完成任务：

如何确定服务驿站序号？
素材1	某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车由A站出发，依次途经各站驰往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个，已知该快递车在第1个服务驿站（即A站）启程时装载的货包总数为 $(30 - 1) = 29$ 个，在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为 $(30 - 1) - 1 + (30 - 2) = 2 \times (30 - 2) = 56$ 个．
素材2	快递车在某服务驿站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个．
问题解决
任务一分析特殊情况	该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为_▲_个（直接写结果即可）；该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为_▲_个（直接写结果即可）；
任务二归纳一般规律	设x代表A地到B地依次经过的服务驿站序号，则该快递车在第x个服务驿站启程时装载的货包总数为_▲_个；
任务三确定站点序号	求服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？

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3、一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间 $t / s$
0
1
2
3
4
滑行速度 $y / m/s$
60
57
54
51
48
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位： $m/s$ ）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离 $=$ 平均速度 $\bar{v} \times$ 时间t ， $\bar{v} = \frac{v_{0} + v_{t}}{2}$ ，其中 $v_{0}$ 是初始速度， $v_{t}$ 是t秒时的速度．

(1)、直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)、求飞机滑行的最远距离；

(3)、当飞机在跑道起点处着陆后滑行了 $450 m$ ，求此时飞机的滑行速度；

(4)、若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方 $300 m$ 有一辆通勤车正以 $54km/h$ 的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？

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4、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 7 cm$ ， $B C = 3 cm$ ，点P从点A开始沿 $A B$ 边以 $3 cm/s$ 的速度移动，点Q从点C开始沿 $C D$ 边以 $1 cm/s$ 的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．

(1)、当t为何值时，点P、Q之间的距离为 $5 cm$ ；

(2)、连接 $P D$ 、 $P Q$ ，当t为何值时， $△ D P Q$ 为直角三角形．

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5、某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克） $(x > 20)$ 之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示．
销售单价x（元/千克）
25
35
销售量y（千克）
50
30

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？

(3)、售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

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6、习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元．

(1)、求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；

(2)、若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？

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7、阅读理解：
材料1．若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料2．已知实数m ， n满足 $m^{2} - m - 1 = 0 ， n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m ， n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，
根据材料1得 $m + n = 1 ， m n = - 1$ ，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．
解决问题：

(1)、一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、已知实数 $m ， n$ 满足 $m^{2} + m - 1 = 0 ， n^{2} + n - 1 = 0$ 且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、已知实数 $m 、 n$ 满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0,2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

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8、阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，那么由求根公式可推出 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ，
例：已知实数m ， n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则m ， n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．
根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
已知实数a ， b满足： $a^{2} - 5 a + 1 = 0$ ， $b^{2} - 5 b + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b =$ ， $a b =$ ；

(2)、间接应用：
已知实数m ， n满足： $m^{2} + 5 m - 3 = 0$ ， $n^{2} + 5 n - 3 = 0$ ，求 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知a ， b ， c满足 $a + b - 2 c = 0$ ， $a b c = 9$ ，求正整数c的最小值．

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9、阅读材料：
材料1：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 和系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ；
材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解： $∵ m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，
$∴ m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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10、阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ （ $a c \neq 0$ ， $a \neq c$ ）称为一对“密友方程”，例如：方程 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ 的“密友方程”是 $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ ．

(1)、写出一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的“密友方程”是．

(2)、已知一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，它的“密友方程”的两根为 $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{3} =$ _▲_， $x_{4} =$ _▲_．根据以上结论，猜想 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，与其“密友方程” $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两根 $x_{3}$ ， $x_{4}$ 之间存在的一种特殊关系为_▲__，证明你的结论．

(3)、已知关于x的方程 $m x^{2} + n x + q = 0$ 的两根是 $x_{1} = 2023$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2024}$ ，可应用（2）中的结论，解关于x的方程 $q {(x - 1)}^{2} - n x + n + m = 0$ ．

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11、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 n + 1) x + n^{2} + n = 0$ ．

(1)、不论 $n$ 为何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)、当 $n = 1$ ， 2，3，…，2023时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $α_{2}$ 、 $β_{2}$ ， …， $α_{2023}$ ， $β_{2023}$ ，求： $\frac{1}{α_{1} β_{1}} + \frac{1}{α_{2} β_{2}} + \frac{1}{α_{3} β_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{α_{2023} β_{2023}}$ 的值．

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12、阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0, b^{2} - 4 a c \geq 0)$ 的两根 $x_{1}, x_{2}$ 有如下的关系（韦达定理）： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ；
材料2：如果实数m ， n满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，然后将m ， n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：

(1)、若实数a ， b满足： $a^{2} + 3 a - 5 = 0, b^{2} + 3 b - 5 = 0 (a \neq b)$ ，则 $a + b =$ ， $a b =$ ；

(2)、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + k + 3 = 0$ 两个不等实数根，且满足 $5 |x_{1}| = x_{2} + 6$ ，求k的值．

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13、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 6) x + 3 k + 9 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，方程总有实数根；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求代数式 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) + 2$ 的值．

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14、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + (m + 2) = 0$ ．

(1)、当方程有两个不相等的实数根时，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求 $m$ 的值．

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15、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m + 1 = 0$ ．

(1)、若方程有一个根为 $0$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若方程有两个不相等实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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16、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 2) x + 2 k + 1 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个实数根．

(2)、若该方程有一个实数根大于 $4$ ，求 $k$ 的取值范围．

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17、解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 4 = 0$ ；

(2)、 $5 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ ．

(3)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ；

(4)、 ${(x - 2)}^{2} + x (x - 2) = 0$ ．

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18、解下列方程：

(1)、 ${(x - 3)}^{2} + 2 x (x - 3) = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 399 = 0$ （配方法）

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19、解一元二次方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 36 = 0$ ；

(2)、 $2 (x - 1) - x (x - 1) = 0$ ．

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20、解下列方程．

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = 9$ ；

(2)、 $x (x - 4) = 12 - 3 x$ ；

(3)、 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ；

(4)、 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ．

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滑行时间 $t / s$	0	1	2	3	4
滑行速度 $y / m/s$	60	57	54	51	48

销售单价x（元/千克）	25	35
销售量y（千克）	50	30