相关试卷

1、国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告 $(2022$ 年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）

A、 $0.502 \times 1 0^{6}$ B、 $5.02 \times 1 0^{6}$ C、 $5.02 \times 1 0^{5}$ D、 $50.2 \times 1 0^{4}$

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2、【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ，请作出 $△ A B C$ 的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形 $A B C D$ 的边长为7，在边 $C D$ 上截取 $C E = 2$ ，以 $C E$ 为边向外作正方形 $C E F G$ ．
（1）如图2，连接 $A F, D F$ ，求 $△ A D F$ 的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形 $C E F G$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ （如图3）， $⊙ O$ 经过A，D，F三点，且与边 $A B, C D$ 分别交于点I，L，求 $△ A D F$ 的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形 $C E F G$ 绕点C旋转，分别取 $D B, B G, G E, E D$ 的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形 $M N P Q$ （如图4）．在旋转过程中，四边形 $M N P Q$ 的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．

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3、用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 $x$ 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 $F$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{1}$ ，且 $C_{1} : y = a x^{2} + b x + c$ ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 $G$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{2}$ ，且 $C_{2} : y = - \frac{1}{5} x^{2} + m x + n$ ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）

(1)、如图②，当 $a = - \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$ 时，若点 $F$ 坐标为 $(2, 0)$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

(2)、在（1）的条件下，若 $F G = 4$ ，在水面上有一个截面宽 $A B = 1$ ，高 $B C = 0.5$ 的矩形 $A B C D$ 的障碍物，点 $A$ 的坐标为 $(4.5, 0)$ ，判断此时石块沿抛物线 $C_{2}$ 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；

(3)、小星在抛掷石块时，若 $C_{1}$ 的顶点需在一个正方形 $M N P Q$ 区域内（包括边界），且点 $F$ 在 $(3, 0)$ 和 $(4, 0)$ 之间（包括这两点），其中 $M (\frac{1}{2}, 1), N (1, 1), Q (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线 $C_{1}$ 在同一平面内）

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4、图 $1$ 是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为 $50$ 米的 $⊙ O$ ，其上的某个座舱可视作 $⊙ O$ 上的点 $A$ ，座舱距离地面的最低高度 $B C$ 为 $10$ 米，地面 $l$ 上的观察点 $D$ 到点 $C$ 的距离 $D C$ 为 $80$ 米，平面示意图如图 $2$ 所示．

(1)、当视线 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切时，求点 $A$ 处的座舱到地面的距离；

(2)、已知摩天轮匀速转动一周需要 $30$ 分钟，当座舱距离地面不低于 $85$ 米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点 $A$ 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： $tan 36.87 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $sin 66.87 ° \approx 0.92$ ， $cos 66.87 ° \approx 0.39$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $π \approx 3.14$ ）

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5、如图，过原点 $O$ 的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，一次函数 $y = m x + b (m \neq 0)$ 的图象过点A与反比例函数交于另一点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $M$ ，其中 $A (- 2, 1)$ ， $C (- 1, n)$ ．

(1)、求一次函数 $y = m x + b$ 的表达式，并求 $△ A O M$ 的面积．

(2)、连接 $B C$ ，在直线 $A C$ 上是否存在点 $D$ ，使以 $O$ 、 $A$ 、 $D$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，求出点 $D$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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6、某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择： $A$ ．体育中的数学， $B$ ．绘制公园平面地图， $C$ ．改进我们的课桌椅， $D$ ．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示，
项目
人数
频率
$A$
16

$B$
8

$C$

$D$
4
0.1
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图；

(2)、已知该校共有800名学生，请估计选择项目 $B$ 的学生人数；

(3)、现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目 $A$ 和项目 $B$ 的概率．

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7、如图，已知 $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证： $A D ∥ B C$ ；

(2)、求 $∠ D$ 的度数．

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8、先化简，再求值： $(2 + m + \frac{4}{m - 2}) \div \frac{m}{3 m - 6}$ ，其中 $m = {(- 1)}^{2025}$ ．

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9、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，边 $B C$ 与 $E F 、 D F$ 分别交于点O，M， $A C$ 与 $E F$ 交于点N， $O B = O E$ ．求证： $△ M O F ≌ △ N O C$ ．

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10、计算： $2 cos 60 ° - {(1 - \sqrt{5})}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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11、方程 $x^{2} - 2024 x - 2025 = 0$ 的两个根分别是 $m 、 n$ ，则 $(m^{2} - 2023 m - 2026) (n^{2} - 2023 n - 2026) =$

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12、用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知 $x + 2 y$ 的值等于．

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13、老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为 $E F$ ，点 $A$ ， $B$ 是水平地面上两点，且与点 $E$ ， $F$ 均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（）

A、 $C H$ 的长， $∠ E D H$ 的度数 B、 $A B$ 的长， $∠ E C H$ 的度数 C、 $C H$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数 D、 $A B$ 的长， $∠ E C H, ∠ E D H$ 的度数

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14、下列说法正确的是（）

A、若 $|a| = |b|$ ，则 $a = b$ B、若 $a m < b m$ ，则 $a < b$ C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

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15、如图， $A C$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的弦，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ．若 $∠ A O B = 40 °, ∠ O C A = 30 °$ ，则 $∠ B C O$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $A (3, 1)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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17、如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）

A、主视图不变 B、左视图不变 C、俯视图不变 D、三种视图都不变

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18、粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置(如图1所示)，它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用.图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器(加速器宽度可忽略不计)时，其运动速度将迅速变成原来的5倍(速度变化的时间忽略不计).
如图3所示，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，点22处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹.带电粒子g₁位于数轴上A点，不带电粒子g₂位于数轴上B点. a，b分别为A，B对应点的值，满足 $7 x^{a^{- 7}} - 4 x^{2} + (b + 8) x + 1$ 为关于x的三次三项式.

(1)、a=；b=。

(2)、两粒子在数轴上同时开始运动，g₁从A 点以每秒1个单位长度的速度向右运动，g₂从B 点以每秒3个单位长度的速度向右运动.设t为粒子的运动时间， $t_{0}$ 为两粒子第一次相遇的时刻， $G_{1}, G_{2}$ 分别为t时刻时g₁ ， g₂在数轴上所对应的点.
①求t₀的值.
②当 $t_{0} < t \leq 10$ 时，判断 $2 B G_{1} - G_{1} G_{2}$ 的值是否会发生变化.如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由.

(3)、当g₁与g₂的距离为2时，求t的值.

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19、定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图①所示，若. $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠ A O B,$ 则 $∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角.

(1)、如图①所示，已知. $∠ A O B = 7 0^{\circ}, ∠ A O C = 1 5^{\circ}, ∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角，则 $∠ B O D =$ .

(2)、如图②，已知 $∠ A O B = 6 3^{\circ},$ 将 $∠ A O B$ 绕点O按顺时针方向旋转一个角度( $α (0 < α < 6 3^{\circ})$ 至 $∠ C O D,$ 当旋转的角度α为何值时， $∠ C O B$ 是 $∠ A O D$ 的内半角?

(3)、已知 $∠ A O B = 3 0^{\circ},$ 把一块含有 $3 0^{\circ}$ 角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以： $3^{\circ}$ /秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD 始终在 $∠ A O B$ 的外部，射线OA， OB， OC， OD能否构成内半角?若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由.

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20、为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备.经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

(1)、求每套队服和每个足球的价格各是多少?

(2)、甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球(其中( $a \geq 10$ 且为整数)，请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱?
① 请用含a的式子表示：
甲商城所花的费用，乙商城所花的费用；
② 当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样?

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项目	人数	频率
$A$	16
$B$	8
$C$
$D$	4	0.1