相关试卷

1、如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，射线 $O E$ 在 $∠ A O D$ 内部，且 $O E ⊥ C D$ 于点 $O$ ．若 $O A$ 平分 $∠ C O E$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $45 °$

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2、下表是某一项实验中结果 $A$ 出现的频率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在一次实验中结果 $A$ 出现的概率为（结果保留小数点后一位）（）
试验次数
40
100
200
400
1000
频数
26
78
158
323
801
频率
0.65
0.78
0.79
0.81
0.80

A、0.6 B、0.7 C、0.8 D、0.9

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3、如图， $A C ⊥ C E$ ， $D E ⊥ C E$ ，则 $A C ∥ D E$ ，依据是（）

A、同位角相等，两直线平行 B、同旁内角互补，两直线平行 C、两直线平行，内错角相等 D、内错角相等，两直线平行

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4、下列运算错误的是（）

A、 $a^{7} \cdot a^{2} = a^{9}$ B、 $a^{10} \div a^{9} = a$ C、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ D、 ${(- 2 a)}^{2} = 4 a^{2}$

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5、为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6、如图，直线 $a$ ， $b$ 相交， $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $52 °$ B、 $38 °$ C、 $48 °$ D、 $30 °$

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7、下列事件中，是必然事件的是（）

A、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C、两直线平行，同旁内角互补 D、如果 $a^{2} = b^{2}$ ，那么 $a = b$

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8、筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．

(1)、图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图， $A B$ 交 $C D$ 于点O， $E F ⊥ A B$ ，垂足为点O， $∠ B O C = 150 °$ ．则 $∠ F O D$ 的度数为___________．

(2)、图2为“传统的筷子”抓法及其示意图， $A B ∥ C D ∥ G H, F$ 为 $A B$ 上一点，射线 $H I$ 与 $A B$ 交于点I，射线 $F E$ 交 $C D$ 于点E．若 $∠ H = ∠ D E F$ ，则 $F E$ 与 $H I$ 所在的直线存在的位置关系是___________．

(3)、图3为“丁字型”抓法及示意图， $A B ∥ C D$ ，射线 $F E$ 交 $A B$ 于点M，交 $C D$ 于点 $E, F G$ 与 $A B$ 交于点G，射线 $G H$ 交 $C D$ 于点H．
①若 $∠ C E F = 105 °$ ， $∠ A G F = 30 °$ ，求 $∠ E F G$ 的度数．
②若 $∠ C E F = x, ∠ E F G = y, ∠ G H D = z$ ，当 $F G ⊥ G H$ ，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．

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9、为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为 $81 {cm}^{2}$ 的正方形感恩明信片．

(1)、该明信片的边长为__________ $cm$ ；

(2)、制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为 $5 : 3$ ，面积为 $150 {cm}^{2}$ ，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由．

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10、如图，先将三角形 $A B C$ 向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、画出经过两次平移后的图形，并写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、已知三角形 $A B C$ 内部一点P的坐标为 $(a, b)$ ，若点P随三角形 $A B C$ 一起平移，平移后点P的对应点 $P_{1}$ 的坐标为 $(- 1, - 1)$ ，请直接写出a，b的值；

(3)、求三角形 $A B C$ 的面积．

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11、计算： $- 2^{2} + \sqrt{4} + \sqrt[3]{- 1} \times \sqrt{5} + |2 - \sqrt{5}|$

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12、如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ，并将 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $A$ 顺次首尾连接的示意图．若 $A F$ 恰好经过点 $G$ ，且 $A F ∥ D E$ ，
$∠ B = ∠ B C D + 10 °$ ， $∠ D = 95 °$ ，则 $∠ B - ∠ C G F$ 的度数为．

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13、实数 $a$ ， $b$ 是连续整数，如果 $a < - \sqrt{21} < b$ ，那么 $a + b$ 的值是(　　)

A、 $- 6$ B、 $- 7$ C、 $- 8$ D、 $- 9$

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14、如图所示，点E在 $A C$ 的延长线上，下列条件中能判断 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 3 = ∠ A$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $∠ D = ∠ D C E$ D、 $∠ D + ∠ A C D = 180 °$

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15、如图，直线 $a ∥ b$ ，若 $∠ 1 = 75 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ 则 $∠ 3$ 的度数是（）

A、 $41 °$ B、 $51 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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16、如图 $1 \sim 3$ ，已知 $⊙ O$ 的半径为3，弦 $A B = 2$ ， C是 $⊙ O$ 上一点（不与点A，B重合），连接 $B C$ ，以 $A B$ ， $B C$ 为边作平行四边形 $A B C D$ ．

(1)、如图1，当 $B C$ 经过圆心O时，求 $\cos ∠ A B C$ 的值；

(2)、如图2，当 $∠ A D C = 60 °$ 时，求劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 的长；

(3)、如图3，当 $A D$ 与 $⊙ O$ 相切时，求点C到 $A B$ 所在直线的距离；

(4)、直接写出点B与点D的最大距离．

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17、如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系，单位长度为1 $dm$ ．从y轴上的点P处伸出两枝麦穗，这两枝麦穗分别看作抛物线 $L_{1}$ （点P与点M之间的部分）： $y = - x^{2} + t x + t + 1$ （ $0 \leq x \leq m$ ）和抛物线 $L_{2}$ （点P与点N之间的部分）： $y = - (x - 2) (x - n)$ （ $0 \leq x \leq 2$ ），其中m，n都为常数，且 $n < 0$ ．抛物线 $L_{1}$ 的顶点距离麦秆的水平距离为1 $dm$ ，点M到地面的距离为 $\frac{7}{4} dm$ ．

(1)、在图2中画出x轴，并求抛物线 $L_{1}$ 的解析式；

(2)、求m的值；

(3)、①若将抛物线 $L_{1}$ 经过平移得到抛物线 $L_{2}$ ，通过计算写出一种合理的平移路径；
②一只小蚂蚱原地竖直向上最高能跳到2 $dm$ 的高度，当它从点O出发，沿x轴正方向前进a $dm$ 后，恰好能跳到麦穗 $L_{1}$ 或 $L_{2}$ 上，直接写出a的取值范围．

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18、
综合与实践
【模型】如图1， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，且O为 $A C$ 的中点．
（1）求证： $△ A O B ≌ △ C O D$ ；
【情境】有一块边缘不规则的余料，其中 $A B ∥ C D$ ，点E、F分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $E F$ 平分不规则图形 $A B C D$ 的面积，现计划作出一条最短的分割线 $M N$ ，使 $M N$ 仍可以平分不规则图形 $A B C D$ 的面积，下面是淇淇解决问题的思路．
如图2，淇淇的思路如下：
①作 $E F$ 的垂直平分线与 $E F$ 交于点O；
②过点O作 $O M ⊥ A B$ ，垂足为M；
③延长 $M O$ 与 $C D$ 交于点N， $M N$ 即为所求．
【探究】
（2）在图2的基础上，根据淇淇的思路，用尺规作图作出分割线 $M N$ （保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的思路，请说明（2）中所作的 $M N$ 符合要求．

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19、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - 4 x + k$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{2} x - k$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与直线 $x = k$ 分别交于 $C$ ， $D$ 两点，其中 $k \neq 0$ ．

(1)、当直线 $l_{1}$ 经过点 $(1, - 2)$ 时：
①求直线 $l_{2}$ 的解析式；
②平行于 $x$ 轴的直线 $y = a$ 交直线 $l_{1}$ 于点 $P$ ，交直线 $l_{2}$ 于点 $Q$ ，且点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧．当 $P Q = 4$ 时，求 $a$ 的值．

(2)、设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 交于点 $M$ ，直接写出 $\frac{S_{△ A M B}}{S_{△ C M D}}$ 的值．

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20、从2025年春晚的《秧 $BOT$ 》到2026年春晚的《武 $BOT$ 》，我国生产制造的机器人通过高精度技术实现精准动作，展现了“人机共舞”的盛宴．已知某型号机器人小腿 $A B = 50$ ，大腿 $B C = 50$ ，上半身（含头部） $C D = 80$ ，手臂 $E F = 100$ ，现将该型号机器人应用于篮球运动，图1和图2分别展示了投篮过程中的起跳和投篮动作．

(1)、如图1，该机器人在投篮起跳时腿部弯曲，使 $∠ A B C = 120 °$ ， $D C$ 的延长线经过点A，且 $D C$ 与地面 $M N$ 相互垂直，求此时机器人头顶D到地面 $M N$ 的距离；

(2)、机器人由（1）的状态起跳后投篮，如图2，点A，B，C，D，E在同一直线上，且始终保持 $D C$ 与地面 $M N$ 互相垂直，此时 $∠ C E F = 143 °$ ，点A到地面 $M N$ 的高度为30，点F到地面的高度为270，通过以上数据求机器人头部 $D E$ 的长．（参考数据： $\tan 37 °$ 取 $\frac{3}{4}$ ， $\tan 53 °$ 取 $\frac{4}{3}$ ）

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试验次数	40	100	200	400	1000
频数	26	78	158	323	801
频率	0.65	0.78	0.79	0.81	0.80