相关试卷

1、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线 $y = - x^{2} + 3 x + 1$ 的一部分，如图所示．

(1)、求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)、已知人梯高 $B C = 3.4$ 米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

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2、如图，二次函数图象与y轴交于点 $A (0, - 6)$ ，与x轴交于C，D两点，顶点坐标为 $B (2, - 8)$ ．若点P是x轴上的一动点．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、当 $P A + P B$ 的值最小时，求点P的坐标．

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3、计算

(1)、 $x^{2} = 3 x$

(2)、 ${(2 x - 3)}^{2} = 5 (2 x - 3)$

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4、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，直接写出不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为．

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5、二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6、下列事件中，是随机事件的是（　　）

A、守株待兔 B、水涨船高 C、拔苗助长 D、瓮中捉鳖

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7、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $O P$ 是由 $x$ 轴绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到的．如图2，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，在旋转过程中， $A B$ 交直线 $O P$ 于点 $E, B C$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ．

(1)、当旋转角 $α$ 为多少度时， $O E = O F$ （直接写出结果，不要求写解答过程）；

(2)、若点 $A$ 的横坐标为 $\frac{12}{13}$ ，求 $F C$ 的长；

(3)、若点 $A$ 的横坐标为 $x$ ，点 $F$ 的纵坐标为 $y$ ，请判断 $x$ 与 $y$ 的数量关系及 $y$ 的取值范围，并写出解答过程．

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9、为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点

B

处测得河北岸的树

A B

恰好在

B

的正北方向，测量方案如下表：

课题	测量河流宽度
工具	测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	观测者从 $B$ 点向东走到 $C$ 点，此时测得点 $C$ 恰好在东南方向上．	观测者从 $B$ 点出发，沿着南偏西 $70 °$ 的方向走到点 $C$ ，此时恰好测得 $∠ A C B = 35 °$ ．	观测者从 $B$ 点向东走到 $O$ 点，在 $O$ 点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达 $C$ 点后，一直向南走到点 $D$ ，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图

(1)、第一小组认为要知道河宽

A B

，只需要知道线段______的长度．

(2)、第二小组测得

B C = 30

米，则

A B =

______米．

(3)、第三小组认为只要测得

B O, O C, C D

就能得到河宽

A B

，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．

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10、阅读与理解：
（1）将 $2 x^{2} - 3 x - 2$ 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项： $2 x^{2} = 2 x \cdot x$ ， $- 2 = (- 2) \times 1$ ．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式： $2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)$ ．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ．
解： $(x - 2) (x - 1) = 0$ ，
$∴ x - 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$ ，
$∴ x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$ ；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解： $x^{2} - 4 x + 3 =$ ______；
②解方程： $2024 x^{2} + 2019 x - 5 = 0$ ；
③已知 $m^{2} - 6 m n + 8 n^{2} = 0 (n \neq 0)$ ，求 $\frac{m}{n}$ 的值．

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11、如图所示，图中的小方格都是边长为 $1$ 的正方形， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)、画出位似中心 $O$ ，并直接写出 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的相似比；

(2)、以位似中心 $O$ 为旋转中心，把 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ，画出 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ．

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12、如图， $A C$ 、 $B D$ 交于点E， $B C = C D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、求证： $△ A E B ∽ △ C E D$ ；

(2)、若 $B C = 12 ， E C = 6 ， A E = 4$ ，求 $A B$ 的长．

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13、用适当方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ ；

(2)、 $x + 5 = x^{2} - 25$ ．

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14、方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 5$ ，现在给出另一个方程 ${(2 x - 1)}^{2} + 4 (2 x - 1) - 5 = 0$ ，它的解是．

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15、如图，AB $∥$ CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为．

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16、在函数 $y = \frac{2024}{x - 5}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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17、有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为 $x$ ，可列方程为（）

A、 $73 + 2 x = 118$ B、 $73 (1 + x^{2}) = 118$ C、 $73 {(1 + x)}^{2} = 118$ D、 $1 + x + x^{2} = 118$

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18、若 $x = \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \times 1 \times 3}}{2}$ 是某个一元二次方程的根，则这个方程是（）

A、 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ C、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ D、 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$

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19、已知a、b、c、d是成比例线段，其中 $a = 2 cm$ ， $b = 3 cm$ ， $c = 6 cm$ ，则线段d的长为（）

A、 $3 cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $9 cm$

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20、下列函数中，表示 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = x + 2$

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