相关试卷

1、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，使点B在DE上，若 $∠ C = 20$ °，则 $∠ A B D$ =（ )

A、40° B、65° C、70° D、120°

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2、用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ B < 90 °$ ”，应先假设（ )

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \neq 90 °$ D、 $A B \neq A C$

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3、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ ，若 $C D = 3$ ，则点D到AB的距离为（ )

A、4 B、3.5 C、3.2 D、3

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4、“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯 $A$ 射线从 $A M$ 开始顺时针旋转至 $A N$ 便立即回转，灯 $B$ 射线从 $B P$ 开始顺时针旋转至 $B Q$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 $A$ 转动的速度是每秒2度，灯 $B$ 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即 $P Q ∥ M N$ ，且 $∠ B A M : ∠ B A N = 2 : 1$ ．

(1)、填空： $∠ B A N =$ $°$ ；

(2)、若灯 $B$ 射线先转动30秒，灯 $A$ 射线才开始转动，在灯 $B$ 射线到达 $B Q$ 之前， $A$ 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)、如图2，若两等同时转动，在灯 $A$ 射线到达 $A N$ 之前．若射出的光束交于点 $C$ ，过 $C$ 作 $∠ A C D$ 交 $P Q$ 于点 $D$ ，且 $∠ A C D = 120 °$ ，则在转动过程中，请探究 $∠ B A C$ 与 $∠ B C D$ 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

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5、甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．

(1)、概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）；

(2)、性质探究：如图1，垂美四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $O$ ，试猜想： $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决：如图2，分别以 $Rt △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连接 $C E ， B G ， G E$ ，且 $C E$ 与 $B G$ 相交于点 $H$ ，已知 $B C = 3 ， A B = 5$ ，求 $G E$ 的长．

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7、【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．

(1)、操作观察：
如图1所示，小华将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $A$ 重合，点 $D$ 与点 $G$ 重合，若 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $∠ A F E =$ ___________ $°$ ， $A E$ $A F$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、判断与证明：
如图2所示，张三将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ B F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，请判断四边形 $D F B G$ 的形状并证明：

(3)、迁移应用：
如图3所示，李四将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，连接 $A E$ ，若 $∠ C B D = 30 °, C D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的长．

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8、在如图的 $4 \times 4$ 网格中，每个小正方形的边长都为1．

(1)、在图中作一个以 $A, B, C, D$ 为顶点的平行四边形，使点 $D$ 落在格点上；

(2)、请求出（1）中所作的▱ $A B C D$ 的面积和周长．

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9、计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{3}{4} + 3 \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ ．

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10、如图，已知阴影部分是一个正方形，AB=4，∠B=45°，此正方形的面积（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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11、下列各组数中，是勾股数的是（）

A、1，2，3 B、2，3，5 C、3，4，5 D、5，12，17

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12、如图，数轴上点 $A$ ，点 $B$ 分别表示1和3， $C B ⊥ A B$ ，且 $C B = 1$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A C$ 为半径作弧，弧与数轴的交点为 $D$ ，则点 $D$ 表示的数是．

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13、操作体验：如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A D 、 B C$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点 $C^{'}$ 处．点P为直线 $E F$ 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线 $B E 、 B F$ 的垂线，垂足分别为点M和N，以 $P M 、 P N$ 为邻边构造平行四边形 $P M Q N$ ．

(1)、如图1，求证： $B E = B F$ ；

(2)、特例感知：如图2，若 $D E = 5, C F = 3$ ，当点P在线段 $E F$ 上运动时，
①求 $A B$ 长；
②求平行四边形 $P M Q N$ 的周长；

(3)、类比探究：如图3，当点P在线段 $E F$ 的延长线上运动时，若 $D E = a, C F = b$ ．请用含a、b的式子表示 $Q M$ 与 $Q N$ 之间的数量关系．（直接写出答案）

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14、小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的：
因为 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，所以 $a - 2 = - \sqrt{3}$ ．
所以 ${(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．所以 $a^{2} - 4 a = - 1$ ．
所以 $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ _______；

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $5 a^{2} - 10 a + 1$ 的值：

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}$ ．

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15、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $A D = B C$ ， F是 $A B$ 中点， $D F$ 与 $C B$ 的延长线交于点E， $D E$ 交 $A B$ 于点F．

(1)、求证： $B C = B E$ ；

(2)、连接 $C F$ ，若 $∠ F D A = ∠ F C B$ ，判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由

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16、如图：在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，将矩形沿对角线 $B D$ 折叠，点C落在点E处， $B E$ 交 $A D$ 于点F，求 $△ B D F$ 的面积．

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17、如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，连接 $O B$ 、 $O C$ ，并将 $A B$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $A C$ 的中点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 依次连接，得到四边形 $D E F G$ ．

(1)、若 $∠ G D E = 60 °$ ，求 $∠ G F E$ 的度数；

(2)、若 $M$ 为 $E F$ 的中点， $O M = 3$ ， $∠ O B C$ 和 $∠ O C B$ 互余，求 $D G$ 的长度．

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18、如图， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D B, C E$ 交于点 $F$ ， $D F = F B$ ， $A F ∥ D C$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 为平行四边形；

(2)、若 $∠ E F B = 90 °$ ， $B F = 3 E F$ ， $E F = 1$ ，连接 $B C$ ，求 $B C$ 的长．

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19、计算：

(1)、 $2^{0} + |2 \sqrt{2} - 3| + \sqrt{8}$ ；

(2)、 $(\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{8}}) - (\sqrt{0.5} - \sqrt{3})$ ．

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20、若 $x - y = \sqrt{3} + 1$ ， $x y = 2 \sqrt{3}$ ，则代数式 $(x - 1) (y + 1)$ 的值等于．

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