相关试卷

1、已知抛物线 $y = a (x - m) (x - n)$ 与 $x$ 轴交于两点 $A$ ， $B$ （ $A$ 在 $B$ 的左边， $m < n$ ），与 $y$ 轴交于点 $C (0, 1)$ ，设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $P$ ， $⊙ P$ 与 $y$ 轴相切，圆心 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 1, x > 0)$ 图象上．

(1)、求点 $P$ 的纵坐标；

(2)、求 $a$ 的值；

(3)、当 $C A ∥ B P$ 时，设直线 $B P$ 与函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象的另一交点为 $E$ ，若该抛物线对称轴上一点 $Q$ 满足 $∠ C Q E \leq 30 °$ ，证明点 $E$ 在 $⊙ P$ 上，并直接写出点 $Q$ 的纵坐标 $t$ 的取值范围．

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2、问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律．
叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度 $y$ （ $c m$ ）与纸杯的个数 $x$ （个）之间是一次函数关系，相关数据如表．
纸杯个数 $x$ （个）
1
2
3
4
…
纸杯高度 $y$ （ $c m$ ）
9
9.5
10
10.5
…
叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数 $n$ 随着第一层（最底层）杯子的个数 $m$ 变化而变化，并在平面直角坐标系中描点 $(1, 1)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 6)$ ， $\dots (5, 15)$ 等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）：

(1)、求 $n$ 与 $m$ 之间的函数表达式；

(2)、小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为 $31 c m$ 的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数；

(3)、小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为 $a$ ）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含 $a$ 的代数式表示杯子叠放后的层数．

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3、已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，其中 $∠ B = 72 °$ ．

(1)、求 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、将 $△ D B C$ 绕点 $D$ 逆时针旋转至 $△ D E F$ ，其中点 $B$ 的对应点 $E$ 落在 $B C$ 边上，先用尺规作出 $△ D E F$ （要求保留作图痕迹），后标记 $E F$ 与 $A C$ 的交点 $G$ ，求证： $△ C E G ∽ △ B D E$ ．

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4、某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元．

(1)、求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；

(2)、班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出 $m$ 枚国风书签和 $n$ 个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率．

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5、某班级拟开展 $A I$ 主题班会活动，现通过投票从“ $A I$ 与科技”“ $A I$ 与生活”“ $A I$ 与学习”“ $A I$ 安全”“ $A I$ 故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示．
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是 ▲ 人；

(2)、由于“ $A I$ 与科技”“ $A I$ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表：
主题
评分
平均数
中位数
众数
$A I$ 与科技
10
9
8
3
6
4
10
10
$a$
8.5
10
$A I$ 故事
9
10
7
8
5
5
8
8
7.5
$b$
8
结合表中的数据，求出 $a$ ， $b$ 的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由．

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6、已知 $A = \frac{1}{n} - \frac{1}{m}$ ， $B = \frac{m^{2} - n^{2}}{2 m n}$ ．

(1)、化简 $A$ ；

(2)、若 $m = \sqrt{2} - n$ ，求 $\frac{B}{A}$ 的值．

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中，两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $O B = 5$ ，求 $A D$ 的长．

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8、解不等式： $2 (x - 1) < x + 3$ ．

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上的动点，连接 $A E$ ， $D E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $A E ⊥ B C$ 时，则 $D E =$ ．

(2)、设 $D E = x$ ， $A F = y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为．

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10、如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，已知点 $A (- 3, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $A M$ 平分 $∠ B A O$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，则 $O M =$ ．

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11、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数 $y = \frac{k b}{x}$ 的图象经过的象限是．

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12、已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 k x + 1$ 与 $x$ 轴交于 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ 两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ．若点 $A (m, n)$ 在该抛物线上，则下列判断正确的是（）

A、当 $n > 0$ 时， $x_{1} < m < x_{2}$ B、当 $n < 0$ 时， $m < x_{1}$ C、当 $k = 0$ 时，该抛物线的顶点到达最高处 D、该抛物线与 $y = - x + 1$ 没有交点

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13、如图， $⊙ O$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B D$ ， $C D$ ．以点 $D$ 为圆心， $B D$ 的长为半径在 $⊙ O$ 内画弧，则阴影部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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14、如图，从航拍无人机 $A$ 看一栋楼顶部 $B$ 的仰角 $α$ 为 $30 °$ ，看这栋楼底部 $C$ 的俯角 $β$ 为 $60 °$ ，无人机与楼的水平距离为 $60 m$ ，则这栋楼的高度为（）

A、 $70 \sqrt{3} m$ B、 $80 \sqrt{3} m$ C、 $90 \sqrt{3} m$ D、 $100 \sqrt{3} m$

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15、如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、下列运算中，结果正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(x^{3} y^{- 2})}^{2} = \frac{x^{6}}{y^{4}}$

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17、如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼 $D$ 所看到的是蜡烛 $A$ 在平面镜里的虚像 $B$ ，点 $A$ 与点 $B$ 到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若 $∠ C A B = 22 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $11 °$ B、 $22 °$ C、 $33 °$ D、 $44 °$

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18、一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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19、【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D ， DE⊥AC ，垂足为E ．求证：AC＝AB+BD ．
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC ， ∠B＝90°，
∴DB＝DE ，
在Rt△ADB和Rt△ADE中，
${\begin{cases} A D = A D \\ D B = D E \end{cases}$ ，
∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AE ，
又∵∠C＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC ，
∴AC＝AE+EC＝AB+BD ．

(1)、【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长．

(2)、【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC ， AB ， BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

(3)、【拓展延伸】任意三角形ABC ， ∠ABC＝2∠C ， AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D ，如图3，请你写出线段AC ， AB ， BD之间的数量关系，并说明理由．

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20、有一副三角板ABC和DEF ， ∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，点A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G ．

(1)、如图1，若EF∥AB ，则∠CAD的度数为；

(2)、如图2，若∠BGF＝75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；

(3)、如图3，AD平分∠BAC ，过点E作EH∥BC ，交DF的延长线于点H ，求∠HEF的度数．

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