相关试卷

1、《九章算术》中记载“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上 $10 ℃$ 记作 $+ 10 ℃$ ，则 $- 8 ℃$ 表示气温为（）

A、零下 $8 ℃$ B、零下 $10 ℃$ C、零上 $8 ℃$ D、零下 $2 ℃$

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2、问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = 4 ， A C = 6$ ，求 $B C$ 和 $A D$ 的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了 $B C$ 的取值范围，请你也算一算 $B C$ 的取值范围______．
【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出 $A D$ 的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长 $A D$ 至点E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．可证出 $△ A C D ≌ △ E B D$ ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与 $A D$ 转化到 $△ A B E$ 中，进而求出 $A D$ 的取值范围______；
【迁移应用】
（3）如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点E在 $B C$ 的延长线上， $C E = A B$ ， $∠ B A C = ∠ B C A$ ，求证： $A E = 2 A D$ ；
（4）思考：如图3， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = A E ， A C = A F ， ∠ B A E = ∠ F A C = 90^{\circ}$ ，请你判断线段 $A D$ 与 $E F$ 的关系，并加以证明．

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3、在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式 $x^{2} - 4$ 就可以分解成 $(x + 2) (x - 2)$ ，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取 $x = 16$ ，那么 $x + 2 = 18$ ， $x - 2 = 14$ ， 14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如 $x^{2} (x + 2)$ ，我们取 $x^{2}$ 和 $(x + 2)$ 的值作为两个因式码．

(1)、根据上述方法，若多项式为 $x^{2} - 16$ ，当 $x = 15$ 时，请直接写出密码为_____．

(2)、若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 $x^{3} - x$ ，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．

(3)、已知多项式 $4 x^{4} - x^{2}$ ，当 $x$ 取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由．

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4、若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： $A (1, 3)$ ， $B (- 2, - 6)$ ， $C (0, 0)$ 等都是“三倍点”．在 $- 3 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，则 $c$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{1}{4} \leq c < 1$ B、 $- 4 \leq c < - 3$ C、 $- \frac{1}{4} \leq c < 5$ D、 $- 4 \leq c < 5$

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5、宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？

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6、综合与探究
如图1，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在 $A E$ 右上方作正方形 $A E F G$ ，连接 $D G$ ．

(1)、求证： $D G = B E$ ；

(2)、如图2，在图1的基础上连接 $A F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $E H$ ，试判断 $B E ， E H ， H D$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 6 ， C B = 2 C E$ ，则 $△ C E H$ 的面积为_______．

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7、某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表：

平均数/分
中位数/分
众数/分
甲组
$a$
8
8
乙组
8.3
$b$
$c$
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、填空： $a =$ ________， $b =$ ________， $c =$ _________；

(2)、该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数；

(3)、现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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8、冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 个人，则下列结论错误的是（）

A、第1轮后有 $(x + 1)$ 个人患了流感 B、第2轮又增加 $x (x + 1)$ 个人患流感 C、依题意可列方程 ${(x + 1)}^{2} = 49$ D、按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，且 $B D = 3 cm$ ，则点D到 $A C$ 边的距离是 $cm$ ．

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10、如图，小军为了估计池塘两岸间的距离（即 $A B$ 的长），在池塘的一侧选取一点P，测得 $P A = 8 m$ ， $P B = 6 m$ ，则池塘两岸间的距离可能是（　　）

A、 $16 m$ B、 $15 m$ C、 $14 m$ D、 $11 m$

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11、在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐．其中，格点多边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向．请根据材料完成下列问题
材料一
在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为M，边界上的格点数记为N，例如，图①是格点三角形，其中 $S = 1$ ， $M = 0$ ， $N = 4$ ．
（1）图②是格点四边形，图中所对应的： $S =$ ________， $M =$ ________， $N =$ ________．图③是格点五边形，图中所对应的 $S =$ ________， $M =$ ________， $N =$ ________．
（2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的面积公式 $S = a M + b N + c$ ，其中a、b、c为常数，结合图形①，②，③，求出a、b、c的值；
材料二
三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数 $(D_{n})$ 的公式：当 $n \geq 3$ 时， $\frac{D_{n + 1}}{D_{n}} = 4 - \frac{6}{n}$ ，其中规定 $D_{3} = 1$ ．例如：当 $n = 3$ 时， $\frac{D_{4}}{D_{3}} = 4 - \frac{6}{3} = 2$ ，算出 $D_{4} = 2$ ；当 $n = 4$ 时， $\frac{D_{5}}{D_{4}} = 4 - \frac{6}{4} = \frac{5}{2}$ ，算出 $D_{5} = 5$ ；则根据公式八边形的三角剖分方法数 $D_{8} =$ ________．

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12、请阅读下面的材料．

(1)、问题：如图1，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，探究图中线段 $B C$ ， $A C$ ， $A D$ 之间的数量关系．
小明同学的思路是：如图2，在 $B C$ 上截取 $C E = C A$ ，连接 $D E$ ，先证 $△ A C D ≌ △ E C D$ ，可得 $A D = D E$ ，再证 $B E = D E$ ，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）．

(2)、变式：如图3，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A E D = 90 °$ ，请你探究图中线段 $A B$ ， $A D$ ， $C D$ 之间的数量关系并证明．

(3)、拓展：如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 上的点，且点 $P$ 为 $M N$ 中点，若 $B M = 8$ ， $C N = 1.5$ ， $M N = 7$ ，求 $B C$ 的值．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 $A - C - B - A$ 运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ．

(1)、若点 $P$ 在 $A C$ 上，则 $A P =$ _____， $C P =$ _____（用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、若点 $P$ 在 $∠ B A C$ 的平分线上（不与点 $A$ 重合），求 $t$ 的值．

(3)、在整个运动过程中，直接写出当 $△ P B C$ 是等腰三角形时 $t$ 的值．

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14、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C E$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高线， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．

(1)、如图1，中线 $C E$ 的长为__________，高线 $C D$ 的长为__________．

(2)、如图2，在 $A C$ 的延长线上取一点 $F$ ，使得 $A F = B F$ ，求 $C F$ 的长．

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15、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 17$ ， $B C = 13$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，连结 $C D$ ，且 $C D = 12$ ， $B D = 5$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ．

(2)、求 $∠ A$ 的度数．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法）

(2)、若 $C D = 3$ ， $A B = 10$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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17、如图， $B E = B A$ ， $A B ∥ D E$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B E D$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ D B E$ 的度数．

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18、已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $A B = D E$ ，点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在同一条直线上，且 $B E = C F$ ．求证： $∠ A C B = ∠ F$ ．
证明： $∵ B E = C F$ （_________），
$∴ B E +$ __________ $= C F +$ __________，
即 $B C = E F$ ，
$∵ A B ∥ D E$ ，
$∴ ∠ B =$ __________（__________），
在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中
$∵ \{\begin{matrix} A B =_____(_____) \\ ∠ B = ∠ D E F (已证) \\ B C = E F (已证) \end{matrix}$ ，
$∴ △ A B C ≌ △ D E F$ （________），
$∴ ∠ A C B = ∠ F$ （________）．

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19、如图，在 $△ O A B$ 和 $△ B C D$ 中， $O A = O B = 3$ ， $C B = C D = 1$ ， $∠ A O B = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ．连接 $A D$ ，取 $A D$ 的中点 $E$ ，连接 $O E$ ．将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转，当点 $O$ ， $C$ ， $B$ 在同一直线上时， $O E$ 的长为．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $12$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，直线 $E F$ 的垂直平分线 $B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ， $P$ 是线段 $E F$ 上的一个动点，则 $△ P B D$ 的周长的最小值是．

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	平均数/分	中位数/分	众数/分
甲组	$a$	8	8
乙组	8.3	$b$	$c$