相关试卷

1、如果m+n=1，那么式子 $(\frac{2 m + n}{m^{2} - m n} + \frac{1}{m}) (m^{2} - n^{2})$ 的值为 ( )

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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2、探索规律：

(1)、尝试直接写出计算结果：
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}$ =。

(2)、由(1)的计算过程知， $\frac{1}{n (n + 2)}$ 可变形为。
运用规律：

(3)、解方程： $\frac{1}{x (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 6)} +$ $\frac{1}{(x + 6) (x + 9)} = \frac{3}{2 x + 18} 。$

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3、定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，有 $a \otimes b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} .$ 若 $(x + 1) \otimes x = \frac{2 x + 1}{x},$ 则x的值为。

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4、小明解方程 $\frac{1}{x} - \frac{x - 2}{x} = 1$ 的过程如下。请指出他在哪几步出现了错误，并写出正确的解答过程。
解：方程的两边同乘x，得1-(x-2)=1。……①
去括号，得1-x-2=1。    ②
移项，得-x=1-1+2。    ③
合并同类项，得-x=2。    ④
解得x=-2。……⑤
所以原方程的解为x=-2。    ⑥

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5、解下列方程：

(1)、 $\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1;$

(2)、 $\frac{x - 2}{x - 4} - 2 = \frac{x}{x - 4};$

(3)、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{x (x - 2)} = \frac{5}{2 x};$

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6、分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$ 的解是( )

A、x=3 B、x=2 C、 $x = \frac{3}{2}$ D、 $x = \frac{3}{4}$

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7、认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
1+x+x(1+x)+x(1+x)²
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
$= {(1 + x)}^{2} (1 + x)$
$= {(1 + x)}^{3} 。$

(1)、上述因式分解的方法是。

(2)、分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)²+x(1+x)³。

(3)、猜想1+x+x(1+x)+x(1+x)²+…+x(1+x)"分解因式的结果。

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8、先化简，再求值： ${(x + 2)}^{2} - (x^{3} + 3 x) \div x,$ 其中x=-2。

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9、【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的 $A B C D$ 正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．

(1)、【探究感悟】
如图①，小明在边 $A B$ 上取点 $E$ （ $E$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落到对角线 $B D$ 上．则此时线段 $B E$ 的长是；

(2)、【深入探究】
小明继续将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，发现： $A_{1}$ ， $B$ ， $C$ 三点能构成等腰三角形．请求出此时线段 $B E$ 的长；

(3)、【拓展延伸】
如图②，小明又在边 $C D$ 上取点 $F$ （ $F$ 不与 $C$ ， $D$ 重合），并将四边形 $A D F E$ 沿 $E F$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 上．记 $A_{1} D_{1}$ （ $D_{1}$ 为 $D$ 的对应点）与 $C D$ 的交点为 $G$ ，连接 $A D_{1}$ ，小明再次发现：线段 $E F$ 与 $A D_{1}$ 的长度之和存在最小值．请求出此时线段 $C G$ 的长．

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10、阅读材料，并解决问题．
【学习研究】
我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，构造方法如下：
首先将方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为 $x (x + 2) = 35$ ，然后画四个长为 $x + 2$ ，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4$ ．因此，可得新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ ．因为x表示边长，所以 $2 x + 2 = 12$ ，即 $x = 5$ ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

(1)、【理解应用】
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 $x^{2} - 4 x - 21 = 0 (x > 0)$ 的正确构图是．（从序号①②③中选择）

(2)、【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程 $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即x（） $= 1$ ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为；

(3)、【拓展应用】
一般地，对于形如 $x^{2} + a x = b$ 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 $a =$ ， $b =$ ，求得方程的正根为．

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11、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，点E是 $B C$ 的中点，且 $A C$ 平分 $∠ D A E$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是菱形；

(2)、已知 $A B = 3$ ， $A E = 2$ ，求线段 $A C$ 的长．

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12、数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．

(1)、小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为．

(2)、小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．

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13、先化简，再求值： $(1 - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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14、如图，菱形的较短对角线长为10，较长对角线长为24，要拼出和小菱形相似的较长对角线长为120的大菱形，需要小菱形的个数是.

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15、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2028 = 0$ 的两个实数根，则代数式 ${x_{1}}^{2} + 4 x_{1} + 2 x_{2}$ 的值等于．

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16、关于x的方程 $(a - 3) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．

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17、如图，已知 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $A B : B C = 1 : 2$ ，如果 $E F = 10$ ，那么 $D E$ 的长为．

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18、小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的 $1.2$ 倍，两人各自骑行了 $6 k m$ ，小亮骑行时间比小红少用了 $4 m i n$ ．设小红的骑行速度为 $x k m / h$ ，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{6}{1.2 x} + \frac{4}{60} = \frac{6}{x}$ B、 $\frac{6}{1.2 x} + 4 = \frac{6}{x}$ C、 $\frac{6}{1.2 x} - \frac{4}{60} = \frac{6}{x}$ D、 $\frac{6}{1.2 x} - 4 = \frac{6}{x}$

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19、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，若 $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ E A F$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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20、一元二次方程 $y^{2} - y - \frac{3}{4} = 0$ 配方后可化为（　　）

A、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$ D、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

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