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1、如图，锐角△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与边BC，CA，AB交于点D，E，F.求证： $\frac{1}{A D} + \frac{1}{B E} + \frac{1}{C F} = \frac{2}{R} .$

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2、如图，在△ABC中，AB>AC，O，I分别是 $△ A B C$ 的外心和内心，且满足AB-AC=2OI.求证：

(1)、OI∥BC.

(2)、S_△AOC-S_△AOB=2S_△AOI.

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3、如图， $△ A B C$ 的三边满足关系 $B C = \frac{1}{2} (A B + A C)$ O，I分别为 $△ A B C$ 的外心和内心， $∠ B A C$ 的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H.
求证：

(1)、 $A I = B D .$

(2)、 $O I = \frac{1}{2} A E .$

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4、
求证：

(1)、三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的2倍.

(2)、三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍.

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5、如图，已知H是 $△ A B C$ 三条高AD，BE，CF的交点，连接DF，DE，EF.求证：H是 $△ D E F$ 的内心.

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6、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，AB=BC=CD，连接AC与BD，相交于点P，连接PF.求证： $P F ⟂ B C .$

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7、如图，点H为 $△ A B C$ 的垂心，以AB为直径的 $⊙ O_{1}$ 与 $△ B C H$ 的外接圆 $⊙ O_{2}$ 相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：P为CH的中点.

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8、如图，已知M是 $△ A B C$ 内一点， $∠ B M C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ B A C,$ 直线AM经过 $△ B M C$ 的外接圆的圆心O，试证明：点M是 $△ A B C$ 的内心.

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9、如图，已知 $∠ A C E = ∠ C D E = 9 0^{\circ}$ ，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D三点的圆交AB于点F.求证：F为 $△ C D E$ '的内心.

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10、如图，已知 $△ A B C$ 的外心为O，过点B，C任意作一圆，分别与AB，AC的延长线交于点E，F.求证： $A O ⟂ E F .$

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11、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O，AB为直径，弦 $C E ⟂ A B$ 于点F，C是 $\hat{A D}$ 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q.求证：点P是 $△ A C Q$ 的外心.

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12、如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且 $∠ C A D = 6 0^{\circ}, D C = D E .$
求证：

(1)、AB=AF.

(2)、点A为 $△ B E F$ 的外心.

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13、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF，FD，DE，且PC⊥PF.求证：

(1)、△PFD∽△PDC.

(2)、 $\frac{E P}{D E} = \frac{P D}{D C} .$

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14、如图，在△ABC中，AC=BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B，I两点的⊙O交BC于D点， $t a n ∠ C B I = \frac{1}{3}, A B = 6 .$

(1)、求线段BD的长.

(2)、求线段BC的长.

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15、如图，BC是半圆O的直径，D是 $\hat{A C}$ 的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.

(1)、求证： $A C \cdot B C = 2 B D \cdot C D .$

(2)、若 $A E = 3, C D = 2 \sqrt{5},$ ，求弦AB和直径BC的长.

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16、如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，点M为OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE交BC于点N.求证：BN=CN.

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17、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作 $D E ⟂ A B$ 于点E，连接AC，与DE交于点P，问EP与PD是否相等?证明你的结论.

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18、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作 $∠ E B P = ∠ E B C,$ ， BP交OE的延长线于点P.

(1)、求证：PB是⊙O的切线.

(2)、若AC=2，PD=6，求⊙O的半径.

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19、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，弦BF交CD于点G，点P在CD的延长线上，且PF=PG.

(1)、求证：PF为⊙O的切线.

(2)、若OB=10，BF=16，BE=8，求PF的长.

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20、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE.

(1)、求证：DB=DE.

(2)、若AE=3，DF=4，求DB的长.

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