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1、已知 $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}},$ 求 $\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$ 的值.

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2、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{2020} - \sqrt{2019}},$ 则 $x^{6} - 2 \sqrt{2019} x^{5} - x^{4} + x^{3} - 2 \sqrt{2020} x^{2} + 2 x -$ $\sqrt{2020}$ 的值为( ).

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2019}$ D、 $\sqrt{2020}$

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3、阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的“对子”.如： $(2 + \sqrt{3}) \times (2 - \sqrt{3}) =$ $1, (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3,$ 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} =$ $\frac{(2 + \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式是；将 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得.

(2)、计算： $① \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}};$
$② (\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2010} + \sqrt{2009}} \times (\sqrt{2010} + 1) .$

(3)、已知 $x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}},$ 求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值.

(4)、已知 $a = \sqrt{2006} - \sqrt{2005}, b = \sqrt{2007} - \sqrt{2006}, c = \sqrt{2008} - \sqrt{2007}$ 求a，b，c三者的，大小关系.

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4、观察下列各式： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} =$ $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}} .$ 用n(n为任意的自然数，且 $n \geq 2)$ 表示的等式为 .

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5、在草稿纸上计算 $\sqrt{11 - 2 \times 1}$ ， $\sqrt{1111 - 2 \times 11}$ ， $\sqrt{111111 - 2 \times 111}$ 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： $\sqrt{\underset{2 n 个 1}{\underset{︸}{11 … 1}} - 2 \times \underset{n 个 1}{\underset{︸}{11 … 1}}} =$ .

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6、观察下面的式子：
$S_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, S_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots S_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} .$

(1)、计算： $\sqrt{S_{1}} =_{,}$ ， $\sqrt{S_{3}} =_{;}$ ；猜想 $\sqrt{S_{n}} =$ (用n的代数式表示).

(2)、计算： $S = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} + \sqrt{S_{3}} + \dots + \sqrt{S_{n}}$ (用n的代数式表示).

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7、如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是　　；
（2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，大圆离原点最远？
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

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8、探索规律：
观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
$1 + 3 = 4 = 2^{2}$
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$

(1)、请猜想 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + 29 =$ ；

(2)、请猜想 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + (2 n - 1) + (2 n + 1) =$ ；

(3)、请用上述规律计算： $41 + 43 + 45 + \dots + 77 + 79$

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9、已知 $|a - 2 |+| 3 - b |+| c - 4| = 0$ ，求下面各式的值：

(1)、 $a + b - c$ ；

(2)、 $|- a| + |c| - |- b|$ ．

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10、计算：

(1)、 $(- 4 \frac{2}{3}) + (- 2 \frac{1}{3}) + 5 \frac{3}{4} + (- 4 \frac{3}{4})$

(2)、 $19 \frac{13}{14} \times (- 14)$

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11、计算：

(1)、 $(- 8) + (- 15)$

(2)、 $0 - (- 5)$

(3)、 $(- \frac{1}{3}) \times (- \frac{1}{6}) \times (- 9)$

(4)、 $|- 1| \div (- 4) \times \frac{4}{7}$

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12、把下列各数填入相应的括号内：
$+ 7$ ， $\frac{2}{3}$ ， $- 3$ ， $- 3 \frac{1}{2}$ ， $1.414$ ， 0， $- 17.34$ ．
正整数：｛                                             …｝；
整数：｛                                             …｝；
负分数：｛                                             …｝；

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13、如图，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，则 $△ O A_{2} A_{2025}$ 的面积为．

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14、若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则 $\frac{a + b}{5} - 2 c d$ 的值是．

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15、现定义一种新运算“ $◎$ ”：对于任意有理数x，y，都有 $x ◎ y = 3 x - 2 y$ ．例如： $5 ◎ 1 = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ ，则 $(- 4) ◎ (- 3)$ 的值为．

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16、某地区某年12月份某天早晨，气温为 $- 13 ℃$ ，中午上升了 $10 ℃$ ，晚上又下降了 $8 ℃$ ，则晚上气温为 $℃$ ．

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17、如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2025次输出的结果是（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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18、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A、 $a + b > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $|a| > |b|$ D、 $a - b > 0$

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19、如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（）

A、①加法交换律②加法结合律 B、①②都是加法交换律 C、①加法结合律②加法交换律 D、①②都是加法结合律

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20、先化简，再求值： $\frac{a + b + 2 \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{4 a - b}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}},$ 其中实数a，b满足 $a^{2} + a^{2} b^{2} - 4 a b +$ $b^{2} + 1 = 0 .$

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