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1、如图，已知E是正方形BC 边上的一点，F是CD 边上的一点，∠EAF=45°，AE，AF分别交BD 于点G，H.
求证：

(1)、① $A E = \sqrt{2} A H; ② \sqrt{2} B H = B E + A B .$

(2)、 $C E = \sqrt{2} H D .$

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2、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D ⟂ B C,$ ，垂足为点 D，AN是 $△ A B C$ 外角 $∠ C A M$ 的角平分线， $C E ⟂ A N,$ ，垂足为点 E.

(1)、求证：四边形ADCE 为矩形.

(2)、当 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形?并给出证明.

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3、已知四边形ABCD是平行四边形，再从( $① A B = B C; ② ∠ A B C = 9 0^{\circ};$ ③AC=BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ).

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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4、如图，正方形 ABCD的边长为3c m，E为CD 边上一点， $∠ D A E = 3 0^{\circ},$ ， M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ=AE，则AP的长为 cm.

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5、如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E 在边CD上，DE=2，作 $E F ‖$ BC，分别交AC，AB于点G，F，点M，N分别是AG，BE的中点，则MN的长为.

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6、如图1，正方形 ABCD的对角线 BD的长为 $2 \sqrt{2},$ 若直线l满足：①点D到直线l的距离为 $\sqrt{3}$ ；②A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为( ).

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，P是直线BD上一动点，连接PC，当 $P C + \frac{B P}{2}$ 的值最小时，线段 PD的长是( ).

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=30°，P 为BC上方一点，且 $S_{△ P B C} = \frac{1}{4} S_{菱形 A B C D},$ 则 PB+PC的最小值为.

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9、如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，G为AD 中点，点E在BC的延长线上，F，H分别为CE，GE的中点，∠EHF=∠DGE，CF= $\sqrt{7}$ ，则AB=.

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10、如图，两个连在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014 cm停下时，它停的位置是( ).、

A、点 F B、点E C、点A D、点C

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11、如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知 $∠ A B C = 6 0^{\circ},$ OA=1，将菱形OABC沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转( $6 0^{\circ},$ 连续翻转2 022次，点B 的落点依次为. $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \dots,$ 则 $B_{2022}$ 的坐标为.

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12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P 是线段AD 上的动点(不与点 D重合)，PO 的延长线交BC 于点 Q.若AAB=3cm，AD=4cm，点P 从点 A 出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动.设点P 运动的时间为t s，问四边形 PBQD 能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.

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13、如图，在 Rt△ABC中， $∠ B = 9 0^{\circ}, A C = 60, A B = 30 .$ D是AC上的动点，过点 D 作DF⊥BC于点F，过点 F作FE∥AC，交AB于点E.设(CD=x，DF=y).

(1)、求y与x的函数关系式.

(2)、当四边形AEFD为菱形时，求x的值.

(3)、当△DEF 是直角三角形时，求x 的值.

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14、如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角. $∠ B A C = α (α < 6 0^{\circ}),$ ， D是BC 边上的一点，连接AD，线段AD绕点A 顺时针旋转α到AE，过点E作BC 的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.

(1)、求证：BE=CD.

(2)、若AD⊥BC，试判断四边形 BDFE的形状，并给出证明.

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15、如图，在矩形ABCD中，AD=3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当 $\frac{A G}{A D}$ 的值为（）时，四边形 BHDG为菱形.

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{3}{8}$

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16、对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC 重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA'，EA'，展开，如图1；
第三步：再沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B'F，展开，如图2.
求证：

(1)、 $∠ A B E = 3 0^{\circ} .$

(2)、四边形BFB'E 为菱形.

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17、如图，四边形ABCD为菱形， $∠ A B C = 7 0^{\circ},$ ，延长BC至点E，在 $∠ D C E$ 内作射线CM，使得 $∠ E C M = 1 5^{\circ},$ ，过点 D 作. $D F ⟂ C M,$ ，垂足为 F，若 $D F = \sqrt{5},$ 则对角线BD 的长为(结果保留根号).

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18、如图，在菱形ABCD中， $∠ A = 6 0^{\circ},$ ，点 E，F分别在边AB，BC上， $A E = B F = 2, △ D E F$ 的周长为 $3 \sqrt{6},$ ，则AD的长为( ).

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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19、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，点 E在BD 上，连接AE，CE，∠ABC=60°，∠BCE=15°，ED= $4 + 4 \sqrt{3},$ 则AD=( ).

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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20、我们把分子是 1，分母是自然数的分数称为单位分数. 利用 $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n (n + 1)}$ 可以证明：每一个真分数都可以表示为不同单位分数的和. 例如 $\frac{2}{3}$ 可以先表示为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ ，再继续表示为三个不同单位分数的和 $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ，但 $\frac{2}{3}$ 还可以表示为两个不同单位分数的和 $\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ 类似地，可以将 $\frac{2}{5}$ 表示为两个不同单位分数的和 $\frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ . 一般地，对任意大于 1 的奇数 n，都有 $\frac{2}{n} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k n}$ 其中 $k =$ .

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