相关试卷

1、【问题原型】如图①，菱形 $A B C D$ 的边长为6， $∠ A D C = 60 °$ ，点P在直线 $C D$ 上移动．试探究 $\frac{P A}{P B}$ 的值最大时点P的位置．
【问题探究】
如图②，梦琪同学的探究步骤如下：
1．射线 $A P$ 上取点 $E$ ，使 $∠ A B E = ∠ A P B$ ，构造 $△ A B E ∽ △ A P B$ ，从而将 $\frac{P A}{P B}$ 转化为 $\frac{A B}{B E}$ ，因为 $A B$ 是定值6，这样就将双变量（ $P A 、 P B$ ）问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题；
2．进一步发现当 $△ A B E ∽ △ A P B$ 时，总有 $△ P A D ∽ △ D A E$ ，进而可知 $∠ A E D = 60 °$ ，连接 $A C$ ，因为四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A D C = 60 °$ ，可知 $∠ A C D = 60 °$ ，即 $∠ A C D = ∠ A E D$ ，可知点C、E始终在 $△ A C D$ 的外接圆上（定弦定角必定圆）．以下是梦琪同学证明 $∠ A E D = 60 °$ 的部分过程：
证明：由【问题探究】的作法可知， $∠ A B E = ∠ A P B$ ，又∵ $∠ B A E = ∠ P A B$ ，
∴ $△ A B E ∽ △ A P B$ ． ∴ $\frac{A E}{A B} = \frac{A B}{A P}$
∵四边形 $A B C D$ 是菱形，∴ $A D = A B$ ，且 $∠ A D P = 60 °$ ．
证明过程缺失
∴ $∠ A E D = ∠ A D P = 60 °$ ．请你补全缺失的证明过程．
【问题解决】
请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点 $E$ 的轨迹圆，并标出圆心O，则 $\frac{P A}{P B}$ 的最大值是________．（保留作图痕迹）

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2、一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据：
双层部分长度x（ $cm$ ）
2
8
14
20
单层部分长度y（ $cm$ ）
148
136
124
112

(1)、试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；

(2)、观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；

(3)、按小华的身高和习惯，背带的长度调为 $130 cm$ 时为最佳，请计算此时单层部分的长度．

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3、一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？

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4、如图，是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 与过点C的切线垂直，垂足为D，直线 $D C$ 与 $A B$ 的延长线交于点P，弦 $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点F，连接 $B E ， B E = 7 \sqrt{2}$ ，下列四个结论：
① $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；
② $P F^{2} = P B • P A$ ；
③若 $B C = \frac{1}{2} O P$ ，则阴影部分的面积为 $\frac{7}{4} π - \frac{49}{4} \sqrt{3}$ ；
④若 $P C = 24$ ，则 $\tan ∠ P C B = \frac{3}{4}$ ；
其中，所有正确结论的序号是．

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5、用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为．

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6、摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位： $m i n$ ）和一个座舱A距离地面的高度h（单位： $m$ ），部分数据如下：
$t / m i n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$h / m$ 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：

(1)、通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)、根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 $m$ ，转盘的半径约为 $m$ ；
②此摩天轮转一圈所用时间为 $m i n$ ；
③若当座舱A距离地面的高度为 $10 m$ 时，座舱B距离地面的高度是 $50 m$ ，则至少经过 $m i n$ （精确到0.1），这两个座舱的高度相同．

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7、如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ．

(1)、如果 $∠ A = 80 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数；

(2)、如图②，作 $△ A B C$ 外角 $∠ M B C$ ， $∠ N C B$ 的角平分线交于点 $Q$ ，已知 $∠ A = α$ ，求 $∠ Q$ （用 $α$ 表示）．

(3)、如图③，延长线段 $B P$ 、 $Q C$ 交于点 $E$ ，当 $∠ A =$ 时， $△ B Q E$ 中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出 $∠ A$ 的度数）．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $F$ 是线段 $B C$ 上一点，连接 $D F ， D F = A D$ ．

(1)、求证： $△ A E D ≌ △ F C D$ ；

(2)、若 $A B + B F = 12$ ，求 $B E$ 的长．

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9、每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是 $84 c m$ ，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚 $0.8 c m$ ，每本文学书厚 $1.2 c m$ ．

(1)、如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；

(2)、如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？

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10、在 $3 \times 3$ 的正方形格点图中，有格点 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ ，且 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的 $△ D E F . ($ 每个 $3 \times 3$ 正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种 $)$

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11、解不等式组： ${\begin{array}{l} - 2 x < 6 \\ 3 (x + 1) \leq 2 x + 5 \end{array}$ ，将解集在数轴上表示出来，并求出满足条件的所有整数解的和．

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12、在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $A 、 B 、 C$ 的坐标分别为 $(0, 3) 、 (t, 3) 、 (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ ，点 $D$ 是直线 $y = k x + 1$ 与 $y$ 轴的交点，点 $B$ 在直线 $y = k x + 1$ 上，若点 $A$ 关于直线 $y = k x + 1$ 的对称点 $A^{'}$ 恰好落在四边形 $O A B C$ 内部（不包括正好落在边上），则 $t$ 的取值范围为．

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13、如图，在平面直角坐标系中，点 $A, B, P$ 的坐标分别为 $(- 1 ， 2), (1 ， 4), (2 ， 1)$ ．若点 $C$ 的横坐标和纵坐标均为整数，且 $∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A P B$ ，则点 $C$ 的坐标为．（写出一个正确的坐标即可）

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14、小明把一副含 $45 °$ ， $30 °$ 的直角三角板如图摆放，其中 $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $∠ α + ∠ β =$ ．

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15、赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 $A B C D$ ，中间是一个小正方形 $E F G H$ ，连接 $D E$ 与 $F G$ 相交于点M，延长 $D E$ 交 $B C$ 于点N，若M是 $D E$ 的中点， $A B = 8$ ，则 $E N$ 的长（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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16、一次函数y₁＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G₁ ，一次函数y₂＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G₂ ，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G₁与G₂有公共点时，y₁随x增大而减小；
②当G₁与G₂没有公共点时，y₁随x增大而增大；
③当k＝2时，G₁与G₂平行，且平行线之间的距离为 $\frac{6}{5} \sqrt{5}$ ．
下列选项中，描述准确的是（　　）

A、①②正确，③错误 B、①③正确，②错误 C、②③正确，①错误 D、①②③都正确

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17、如图放置的 $△ O A_{1} B, △ A_{1} B_{1} A_{2}, △ A_{2} B_{2} A_{3}, \cdot \cdot \cdot, △ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ ，都是以 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{n}$ 为直角顶点的三角形，点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 都在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上， $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = A_{n} A_{n + 1}$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $O B = 2, O B = A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2} = \cdot \cdot \cdot = A_{n} B_{n}$ ，则点 $B_{2024}$ 的坐标是（）

A、 $(1012, 1012 \sqrt{3})$ B、 $(2024, 2024 \sqrt{3})$ C、 $(2024 \sqrt{3}, 4048)$ D、 $(1012 \sqrt{3}, 3038)$

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18、为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积 $V (c m^{3})$ 和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识 $m = ρ V$ ，可判断这四种物质中密度 $ρ (g / c m^{3})$ 最大的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，以点C为圆心， $A C$ 长为半径作弧与 $A B$ 交于点D，连接 $C D$ ，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与 $A B$ 和 $B C$ 交于点E和F，再分别以点E和F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $△ A B C$ 内部交于点G，作射线 $B G$ 交 $C D$ 于点H，若 $∠ B A C = α, ∠ A B C = β$ ，则 $∠ D H B$ 的大小为（）

A、 $α - β$ B、 $9 0^{∘} - α + β$ C、 $α - \frac{1}{2} β$ D、 $18 0^{∘} - α + \frac{1}{2} β$

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20、对于命题“如果 $∠ 1 + ∠ 2 > 90 °$ ，那么 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 都大于 $45 °$ ”能说明它是假命题的反例是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2 = 45 °$ B、 $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 50 °$ C、 $∠ 1 = 45 °$ ， $∠ 2 = 50 °$ D、 $∠ 1 = 46 °$ ， $∠ 2 = 40 °$

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双层部分长度x（ $cm$ ）	2	8	14	20
单层部分长度y（ $cm$ ）	148	136	124	112

$t / m i n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$h / m$	30.00	15.36	10.00	15.36	30.00	50.00	70.00	84.64	90.00	84.64	70.00