相关试卷

1、先观察等式，再回答问题：
$① \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2};$
$② \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6};$
$③ \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12} .$

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}}$ 的结果，并验证.

(2)、请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n的式子表示的等式(n为正整数).

(3)、设 $S_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, S_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots, S_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} .$ 若S= $\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} + \dots + \sqrt{S_{n}},$ 求S(用含n的式子表示，其中n为正整数).

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2、观察下列等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}, \sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}, \dots .$

(1)、你能发现上述式子有什么规律吗?请你将猜想到的规律用含n(n为正整数)的式子表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子.

(2)、若式子 $\sqrt{a + \frac{1}{b}} = 8 \sqrt{\frac{1}{b}}$ (a，b为正整数)符合以上规律，求 $\sqrt{a + b}$ 的值.

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3、观察下列算式：
① $\sqrt{1 \times 3 + 1} = 2$ ；② $\sqrt{2 \times 4 + 1} = 3$ ；③ $\sqrt{3 \times 5 + 1} = 4$ ；④ $\sqrt{4 \times 6 + 1} = 5$ ；···.

(1)、写出第⑥个等式：；

(2)、猜想第⑧个等式：(用含n的式子表示)；

(3)、计算： $\sqrt{1 \times 3 + 1} + \sqrt{2 \times 4 + 1} + \sqrt{3 \times 5 + 1} + \dots + \sqrt{200 \times 202 + 1} .$

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4、已知点C在线段AB上，AC=2BC，线段DE在线段AB上移动，AB=15，DE=6.

(1)、如图，当E为BC 的中点时，求AD 的长；

(2)、若点 F(异于点 A，B，C)在线段 AB 上，AF=3AD，CF=3，求AD的长.

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5、如图，已知A，B是直线l上的两点，AB=12 cm，点C在线段AB上，且 AC=8cm.P，Q是直线l上的两个动点，点P 的速度为1 cm/s，点 Q 的速度为 2cm /s.点 P，Q分别从点C、点B 同时出发，在直线l上运动，则经过s时，线段 PQ的长为6 cm.

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6、已知线段AB=5，C为直线AB 上一点，且AC： BC=3：2，D是线段AC 的中点，则线段 BD 的长为( )

A、3.5 B、3.5或7.5 C、3.5或2.5 D、2.5或7.5

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7、如图，已知C是线段AB上一点，AC=5cm ，点 P 从点A 出发沿AB 以3cm/s的速度向点B运动，点Q从点C 出发沿CB 以1 cm/s的速度向点B运动，两点同时出发，结果点 P 比点Q 提前3s 到达点 B.

(1)、求AB的长.

(2)、设点 P，Q运动的时间为t s.
①当点 P 与点Q 重合时(未到达点 B)，求t的值；
②当点 P 与点Q 相距2cm 时，求t的值.

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8、如图，直线 $A B ‖ C D,$ 直线 EF 与AB，CD分别交于点G，H， $∠ E H D = α (0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}) .$ 小安将一个含 $3 0^{\circ}$ 角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点 N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧， $∠ P = 9 0^{\circ}, ∠ P M N = 6 0^{\circ} .$

(1)、∠PNB+∠PMD ∠P(填“>”“<”或“=”).

(2)、如图2，∠MNG的平分线 NO 交直线CD于点O.
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的值；
②小安将三角尺 PMN沿直线AB 左右移动，保持 PM∥EF，求∠MON 的度数(用含α的式子表示).

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9、如图，直线 EF上有A，C两点，分别引两条射线 AB，CD， $∠ B A F = 10 0^{\circ},$ CD与AB 在直线EF 的两侧.若 $∠ D C F = 6 0^{\circ},$ 射线AB，CD分别同时绕点A、点 C以1°/s和6°/s的速度顺时针转动，设转动时间为t s，在射线CD转动一圈的过程中，当t的值为多少时，CD与AB 平行?

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10、将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，∠BAC=30°， $∠ E = 4 5^{\circ},$ 直线GH∥MN.现将三视频讲难题角尺 ABC 绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺 DEF 绕点 D 以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2.设旋转时间为 ts ，当0≤t≤120时，若边 BC与三角尺 DEF 的一条直角边平行，则所有满足条件的t的值为.

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11、如图，∠ABC=100°，MN∥BC，动点P 在射线BA 上从点 B 开始沿BA 方向运动，连接MP，当∠PMN=120°时，∠BPM 的度数为.

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12、如图，已知AD∥BE，C是直线FG上的动点，若在点 C移动的过程中，存在某个时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=23°，则∠EBC的度数为.

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13、如图，l₁∥l₂ ， BC平分∠ABD. E是射线BC 上的一个动点，设∠BAE=β，当∠BAE：∠CAE=5：1时，∠ACB 的度数为 ( )

A、 $9 0^{\circ} - \frac{3}{5} β$ B、 $9 0^{\circ} - \frac{1}{2} β$ C、 $9 0^{\circ} - \frac{1}{2} β$ 或 $9 0^{\circ} - \frac{3}{5} β$ D、 $9 0^{\circ} - \frac{3}{5} β$ 或 $9 0^{\circ} - \frac{2}{5} β$

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14、若∠1与∠2 的两边分别平行，且∠1 比∠2的4倍小30°，则∠1 的度数为 ( )

A、10° B、42° C、138°或42° D、10°或138°

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15、

(1)、问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数；

(2)、问题迁移：在(1)的条件下，如图2，∠AMP 的平分线与∠CNP 的平分线交于点F，求∠MFN的度数；

(3)、问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动(点 P 与点O，B，D不重合)，记∠PAB=α，∠PCD=β，请求出∠APC与α，β之间的数量关系.

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16、感知：如图①， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B + ∠ C = 180 °$ ， $∠ B = 90 °$ ，易知： $D B = D C$ .
探究：如图②， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ A B D + ∠ A C D = 180 °$ ， $∠ A B D < 90 °$ ，求证： $D B = D C$ ．
应用：如图③，四边形 $A B D C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $D B = D C = \sqrt{2}$ ，则 $A B - A C =$ _______．

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17、根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)、①如果 $a - b < 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ；
②如果 $a - b = 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ；
③如果 $a - b > 0$ ，那么 $a$ 　　 $b$ ．

(2)、如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $2 a + 2 b - 1 > 3 a + b$ ，比较 $a$ ， $b$ 的大小；
②比较 $3 a^{2} - 2 b + 2 b^{2}$ 与 $3 a^{2} + b^{2} - 1$ 的大小．

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18、如图，长方形纸片 $A B C D$ 的长 $A D = 9 cm$ ，宽 $A B = 3 cm$ ，将它折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是 $90 °)$

(1)、求证： $△ B E F$ 是等腰三角形；

(2)、求折痕 $E F$ 的长．

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19、如图， $C$ 为线段 $A E$ 上一动点（不与点 $A$ ， $E$ 重合），在 $A E$ 同侧分别作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ C D E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $O$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $P$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $Q$ ，连结 $P Q$ ．求证：

(1)、 $A D = B E$ ；

(2)、 $△ C P Q$ 为等边三角形．

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20、如图，点 $E ， F$ 在 $C D$ 上，且 $∠ A E C = ∠ B F D = 90 °$ ， $A C = B D$ ， $C F = D E$ ．

(1)、求证： $Rt △ A E C ≌ Rt △ B F D$ ．

(2)、连结 $A F$ ，若 $A C = 5$ ， $A E = 3$ ， $C F = 1$ ，求 $A F$ 的长度

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