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1、下列命题中真命题的个数是（　　）
①三边相等的三角形是等边三角形
②三个内角相等的三角形是等边三角形
③有一个内角是 $60 °$ 的三角形是等边三角形
④有两个内角是 $60 °$ 的三角形是等边三角形

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = ∠ E = 30^{\circ} .$

(1)、【操作发现】
如图2，固定 $△ A B C$ ，使 $△ D E C$ 绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，填空：
① $∠ D E C =$ ；
②设 $△ B D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A E C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系是.

(2)、【猜想论证】
当 $△ D E C$ 在如图3所示的位置时，小明猜想 $(1)$ 中 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 $△ B D C$ 和 $△ A E C$ 中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

(3)、【拓展探究】
已知 $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，点D是角平分线上一点， $B D = C D$ ， $D E / / A B$ 交BC于点 $E ($ 如图 $4) .$ 若在射线BA上存在点F，使 $S_{△ D C F} = S_{△ B D E}$ ，请求出 $∠ B D F$ 的度数.

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3、【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图.
【主题】如何接到最佳温度的温水.
【素材】水杯容积： $700 m l .$
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量.即：开水体积 $\times$ 开水降低的温度=温水体积 $\times$ 温水升高的温度.
生活经验：饮水最佳温度是 $35^{\circ} C \sim 38^{\circ} C ($ 包括 $35^{\circ} C$ 与 $38^{\circ} C)$ ，这一温度最接近人体体温.
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700ml的水杯为止.
$($ 备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况 $.)$
【问题】

(1)、接到温水的体积是ml，接到开水的体积是ml； $($ 用含x的代数式表示 $)$

(2)、若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？

(3)、若水杯接满水后，水杯中温度是 $50^{\circ} C$ ，求x的值；

(4)、记水杯接满水后水杯中温度为 $y^{\circ} C$ ，则y关于x的关系式是；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是.

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4、已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点D，E分别是BC，AD的中点， $A F / / B C$ ，交CE的延长线于 $F .$

(1)、求证：四边形AFBD为平行四边形；

(2)、求四边形AFBD的面积.

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5、某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元.

(1)、求每台A型和B型打印机的销售利润；

(2)、商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为w元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？

(3)、在 $(2)$ 的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元 $(0 < m < 100)$ ，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案.

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6、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C的坐标分别为 $(2,5)$ ， $(- 1,1)$ ， $(4,2)$ ，将 $△ A B C$ 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到 $△ A' B' C' .$

(1)、画出平移后的 $△ A' B' C'$ 并写出 $A'$ ， $B'$ ， $C'$ 的坐标；

(2)、 $△ A' B' C'$ 内部一点 $P'$ 的坐标为 $(a, b)$ ，写出平移前点 $P'$ 的对应点P的坐标.

(3)、连接线段 $A' C$ ，请在x轴上找一点G，使得 $△ A' C' G$ 的面积为8，直接写出满足条件的点G坐标.

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7、已知 $A = \frac{x + 1}{x - 1}, B = \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}, C = \frac{x - 2}{2 x - 4} .$ 先在A，B，C中任选2个分式用除号“ $\div$ ”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.

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8、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， BD是 $∠ A B C$ 的角平分线，点D在AB的垂直平分线上，若 $A D = 6$ ，则 $C D =$ .

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9、如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为.

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10、如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，AC，相交于点F，则 $∠ B F C$ 的度数是.

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11、如图，将 $R t △ A B C$ 绕点A按顺时针旋转一定角度得到 $R t △ A D E$ ，点的对应点D恰好落在BC边上.若 $A C = 6 \sqrt{3}$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，则CD的长为( )

A、3 B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、 $12 - 3 \sqrt{3}$

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12、如图，AB、CD是两面平行放置的平面镜，一束光线MP在点P处经平面镜CD反射后得到光线PN，PN在点N处经平面镜AB反射后得到光线NQ，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，若 $∠ M P N = 70^{\circ}$ ，则 $∠ 4$ 的度数为( )

A、 $35^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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13、下列因式分解正确的是( )

A、 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ B、 $a^{2} + 3 a + 2 = a (a + 3) + 2$ C、 $- x^{3} - x = - x (x + 1)$ D、 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}$

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14、第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日 $- 8$ 月11日在法国巴黎如期举行.以下是巴黎奥运会部分比赛项目的图标，其中是中心对称图形的是( )

A、皮划艇 B、柔道 C、游泳 D、击剑

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15、综合与实践——折纸中的数学
某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接 $A B ， P$ 是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作 $A B$ 的平行线的基本步骤如下．
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点．B'落在 $A B$ 上，折痕 $P Q$ 与 $A B$ 互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平．
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕 $C D ⊥ P Q$ ，打开纸张铺平（如图4）．
（1）根据上述步骤可知， $A B$ 与 $C D$ 的位置关系是______．
【拓广】
（2）①如图4，设直线 $P Q$ 与正方形上、下两边分别交于点M，N，试探究 $∠ M D C$ 与 $∠ N A B$ 的数量关系，并说明理由：
②若 $∠ M D C = 26 °$ ，求 $∠ E B A$ 的度数．
【迁移】
（3）如图5，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，将纸片沿 $E F$ 折叠，使 $A D$ 落在 $A_{1} D_{1}$ 处，再将纸片沿 $G H$ 折叠，使 $B C$ 落在 $B_{1} C_{1}$ 处，且点 $A_{1}$ ， $G ， E ，$ $C_{1}$ 在同一直线上，求证： $E F ∥ G H$ ．

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16、阅读理解——智慧数．
定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如： $16 = 2 \times 8 = (5 - 3) \times (5 + 3) = 5^{2} - 3^{2}$ ，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ 进行研究．现给出下列结论：
①被4除余2的正整数都不是“智慧数”；
②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；
③所有的正奇数都是“智慧数”．

(1)、请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“ $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写：

(2)、题中给出的结论，其中正确的结论是；（填序号）

(3)、把你认为是正确结论的进行说明理由．

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17、手机给学生带来方便的同时也带来了很大的影响．某校七年级在一次家长会上对若干家长进行了一次对“学生使用手机”现象看法的调查，将调查数据整理得如下统计图（A：绝对弊大于利，B：绝对利大于弊，C：相对弊大于利，D：相对利大于弊）：

(1)、这次调查的家长总人数为多少人？

(2)、本次调查的家长中表示“C：相对弊大于利”所占的百分比是多少？并补全条形统计图．

(3)、求扇形统计图中表示“A：绝对弊大于利”的扇形的圆心角度数．

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18、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请按要求画图：

(1)、在网格中画出 $△ A B C$ 向下平移4个单位得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 再画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于直线l对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19、端午前夕的劳动课上，由于制作香包的需要，小红想用一块面积为 $400 {cm}^{2}$ 的正方形绸布，沿着边的方向裁剪出一块面积为 $300 {cm}^{2}$ 的长方形绸布，使它的长宽比为 $3 : 2$ ．她不知道能否裁剪出来，正在发愁．小花见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的绸布裁剪出一块面积小的绸布．”你赞同小花的说法吗？小红能用这块面积为 $400 {cm}^{2}$ 的正方形绸布载剪出符合要求的绸布吗？请给出理由，根据题意列出数量关系式并解答．

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20、（1）计算： $|1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{- 8}$ ；
（2）解不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 > \frac{5}{4} x$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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