初中数学北师大版（2024）-试题列表-第1046页

1、如图，在□ABCD 中，AD>AB，用无刻度的直尺和圆规作∠ABC 的平分线.小丽的作法是：以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AD 于点 P，作射线 BP，则射线 BP 就是∠ABC 的平分线.

(1)、判断小丽的作法是否正确，并说明理由；

(2)、若

\frac{S_{△ A B P}}{S_{△ A B C D P}} = \frac{1}{2}, A B = 3,

求 DP 的长.

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2、为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略.国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是

B M I = \frac{体 重 （ 单 位 ： k g ）}{身 高^{2} （ 单 位 ： m^{2} ）}

.中国人的 BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28 为偏胖；BMI≥28为肥胖.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10 名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的 BMI数值.

【收集数据】

九年级 10名学生数据统计表

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
体重(kg)	59.0	62.4	70.0	70.6	63.8	57.8	64.2	72.7	54.0	52.2
身(m)	1.64	1.73	1.72	1.78	1.85	1.70	1.56\|	1.61	1.62	1.64
BMI	21.9	20.8	23.7	22.3	18.6	x	26.4	28.0	20.6	19.4

【整理数据】

九年级 10名学生 BMI频数分布表

组别	BMI	频数
A	BMI<18.5	0
B	18.5≤BMI<24	a
C	24≤BMI<28	b
D	BMI≥28	1

【应用数据】

(1)、求数据统计表中 x 的值，并直接写出a，b 的值；

(2)、请估计该校九年级 300 名学生中 BMI≥24 的人数.

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3、某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式.在煮沸模式下将水加热到100℃后自动进入保温模式.现有一壶20℃的水经过8分钟烧至 100 ℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y(℃)与时间x(分)的关系图如图所示.

(1)、求a 的值；

(2)、已知当x=20时，y=66，求当18≤x≤n时水温y 与时间x 之间的函数关系式，并求出 n 的值；

(3)、在(2)的条件下，当x=30时，求此时电热水壶中水的温度.

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4、某校九年级共有 600 名学生，为了解九年级学生的体能情况，从中随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，小慧将这次测试成绩分成6 组并绘成如图所示的频数直方图，发现成绩不少于 105 次的同学占96%，第①，②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组的频数都是12，第②，③，④组频数之比为4：17：15.

根据小慧提供的信息，请解答下列问题：

(1)、这次跳绳测试共抽取了多少名学生?

(2)、第④组的频数与频率分别是多少?

(3)、现学校计划表彰前24%的学生，请结合频数直方图确定被表彰学生的1分钟跳绳成绩，并说明理由.

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5、如图，已知B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，AC与DE 交于点G.

(1)、求证：△ABC≌△DEF；

(2)、若∠B = 40°，∠F = 80°，求∠EGC 的度数.

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6、某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散.经实验分析可知，学生的注意力指数 y 随时间x(分)的变化规律如图所示，其中线段 AB 的函数表达式为

y = \frac{5}{2} x + 15 (0 \leq x \leq m),

线段BC 持续的时间恰为 10 分钟，曲线CD 为反比例函数图象的一部分.

(1)、求m 的值及曲线CD 的函数表达式；

(2)、若一道数学难题，需要讲解 18 分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数 y 不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题?请说明理由.

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7、如图，地面上点 A，B，D 在一条直线上，两个观测者从A，B两地观测空中C 处一个无人机，分别测得其仰角为 30°和60°，已知A，B 两地相距36 米.

(1)、求 B 地到C 处的距离；

(2)、当无人机沿着与 AB 平行的路线飞行6 秒到达C'处时，观测者在 A 地测得该无人机的仰角为 45°，求无人机飞行的平均速度.(点A，B，D，C，C'在同一平面内，结果保留根号)

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8、某广播站要招聘一名小记者，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试以及成员评议(每人必须投一票，每票记1分)，其成绩(单位：分)如下：

	笔试	面试	成员评议
甲	80	90	m
乙	85	80	n
丙	70	90	12

成员评议得分扇形统计图

(1)、求m，n的值；

(2)、根据招聘要求，笔试成绩低于80 分不录用，“笔试”“面试”“成员评议”成绩按照50%，40%，10%折算计入总分，总分最高者将被录用.已求得甲的总分为77.8分，那么谁将被录用?请说明理由.

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9、如图，直线AM∥BN，连结AB，作∠ABN 的平分线BC，交AM于点C.

(1)、求证：AB=AC.

(2)、圆圆说：“以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BN于点D，则四边形ABDC为菱形.”圆圆的说法是否正确?若正确，请证明；若不正确，请说明作法中存在的问题，并说出使作出的四边形 ABDC 为菱形的点 D的方法.

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10、在平面直角坐标系中，设二次函数

y = a x^{2} + b x - 3 a

(a，b是实数，a≠0).

(1)、判断该函数图象与x 轴的交点个数，并说明理由；

(2)、若该函数图象的对称轴为直线 x =1，A(x₁ ， y₁)，B(x₂ ， y₂)为该函数图象上的任意两点，其中

x_{1} < x_{2} .

求当x₁ ， x₂为何值时，

y_{1} = y_{2} = 5 a;

(3)、若该函数图象的顶点在第二象限，且过点(1，1).当a<b时，求2a+b 的取值范围.

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11、【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决.

【问题情境】如图①，在正方形 AB-CD 中，E，F，G 分别是 BC，CD，AD 上的点，GE⊥BF 于点O，求证：GE=BF.

小明尝试平移线段GE 到 AH，构造△ABH≌△BCF，使问题得到解决.

(1)、【阅读理解】按照小明的思路，证明△ABH≌△BCF 的依据是；

(2)、【尝试应用】如图②，在5×6 的正方形网格中，点 A，B，C，D 为格点，AB 交CD 于点 M，则∠AMC 的度数为；

(3)、如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D 都在格点上，AB与CD 相交于点 P，求 tan∠APC 的值.

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12、某校在 11 月 9 日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校分别从七、八年级各抽取 25 名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：

年级	平均分	中位数	众数	方差
七年级	8.76	a	9	1.06
八年级	8.76	8	b	1.38

(1)、根据以上信息可以求出：a= ▲ ， b= ▲ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；

(2)、依据数据分析，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好?说明理由；

(3)、该校七、八年级共有 1200人(七、八年级人数相同)参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人.

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13、如图，已知 P 是线段AB 的黄金分割点，AP>PB，以点 B 为圆心，以 AP长为半径画弧；再以点 P 为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点 C，连结 AC，PC，BC.

(1)、求证：△BCP∽△BAC；

(2)、若 PC=2，求AC 的长.

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14、小王和小凌在解答“解分式方程：

\frac{2 x + 3}{x} = 1 - \frac{x - 1}{x},

的过程如下框，请你判断他们的解法是否正确.若错误，请写出你的解答过程.

小王的解法：

解：去分母，得 2x+3=1-(x-1).①

去括号，得2x+3=1-x+1.②

移项，得 2x+x=1+1-3.③

合并同类项，得3x=-1.④

系数化为 1，得x = $- \frac{1}{3} . ⑤$

$∴ x = - \frac{1}{3}$ 是原分式方程的解.⑥

小凌的解法：

解：去分母，得2x+3=x-x-1.①

移项，得2x=-3-1.②

合并同类项，得2x=-4.③

系数化为1，得x=-2.④

∴x=-2 是原分式方程的解.⑤

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15、在同一条高速公路上，客车从 J 地出发经 H 地匀速驶向T 地，同时轿车从 T地出发匀速驶向 H 地.它们离 H 地的路程y(千米)与轿车行驶时间x(时)的函数关系如图所示.请结合图象，解答下列问题：

(1)、客车的速度为千米/时，图中点B 的坐标为，点B 的坐标表示的实际意义是；

(2)、求DE 所在直线的函数表达式；

(3)、当轿车到 H 地时，求客车离 H 地的路程.

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16、图①是一种纸质的桌面台历，底面纸板可适度向内挤压变形，图②、图③是其置于水平桌面的侧面示意图，A，B两点始终在水平桌面l上，PB=24 cm.在图②中，当 PA⊥AB时，

c o s P = \frac{5}{6} .

(1)、求 PA 的长；

(2)、如图③，若将底面纸板铺平放置，即点A，C，B 共线，此时∠P=37°，求此时AB的长.(参考数据：

s i n 3 7^{\circ} \approx 0.6, c o s 3 7^{\circ} \approx 0.8)

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17、 8月8日是我国“全民健身日”，某社区为全力唱响“全民健身与健康同行”，了解全社区5000 名居民的健身情况，随机抽取部分居民进行问卷调查，形成了如下调查报告：

调查主题	某社区居民每天健身情况
调查方式	抽样调查	调查对象	部分某社区居民
调查情况	第一项	您平均每天的健身时间t(单位：时)为( ) A. t>2 B.1.5<t≤2 C.1<t≤1.5 D.0<t≤1	平均每天健身时间的统计图
调查情况	第二项	您的主要健身项目是（） E.健步走 F.广场舞 G.球类运动 H.其他	健身项目人数占比统计图
调查结论		…

请根据以上调查报告，解答下列问题：

(1)、求参与本次抽样调查的居民中，平均每天的健身时间t(单位：时)在1.5<t≤2范围的人数；

(2)、估计该社区5000 名居民中，主要健身项目是“健步走”的居民人数；

(3)、请结合以上信息，写出一条关于该社区健身情况的调查结论.

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18、如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在 BA，DC 的延长线上，且 BE=DF.连结AF，交 BC 于点 H，连结 EC.

(1)、求证：四边形 EAFC 是平行四边形；

(2)、若∠E=∠D=70°，求∠AHB 的度数.

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19、某校综合实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究：

第1步：了解台灯的构成，将实物图转化为几何图形

台灯由四部分构成：底座 EF，长度为定值的底柄 BA，BC，CD，可以通过调整∠B，∠C的大小来调整台灯的高度；AB=2cm 且BA⊥EF 于点A，BC=20cm.

第2步：多次实验测量数据，选取最佳效果

选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据：

人的眼睛与桌面的最佳距离为 40 cm 到60 cm，与台灯 D 处的最佳距离为 40 cm到70 cm；人的眼睛观测台灯 D 处的仰角为45°.

第3步：问题解决：

(1)、如图①，若当 CB 与水平桌面的夹角为37°，且 DC⊥BC 时，点 D 与桌面的距离为46 cm，求 DC 的长；(参考数据：sin 37°≈

\frac{3}{5}, c o s 3 7^{\circ} \approx \frac{4}{5}, t a n 3 7^{\circ} \approx \frac{3}{4}

)

(2)、如图②，在(1)结论的基础上，若在人的眼睛O 处测得B 处的俯角为α，D处的仰角为β，人的眼睛与点B，D的距离都为50cm，CB 与水平桌面的夹角为60°，则此时DC 与水平面的夹角的余弦值为.(用含有α，β的式子表示)

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20、2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光.每逢冬季，排骨藕汤是湖北人餐桌上必不可少的美食.某餐饮店主打藕汤，每份成本为5元，当每份售价为25元时，平均每天可以卖出 120 份.经市场调研发现：若每份的售价每上涨1元，每天要少卖出 5 份；若每份的售价每下降1元，每天可多卖出10份.

(1)、若每份的售价上涨2 元，则平均每天的销售量为份；若设每份的售价下降x元，则平均每天的销售量为份(用含x 的代数式表示).

(2)、若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润为2415 元?

(3)、元旦假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高?

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